Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
так что N-1 из них независимы. Теперь уравнение
(78.9) - обыкновенное дифференциальное уравнение. Если разрешить его
относительно dK^/dqi, то получается квадратурой; аналогично квадратурами
получаются К2,. . ., KN, и имеем полный интеграл уравнения Гамильтона -
Якоби (78.2) в форме (78.8), содержащей N произвольных постоянных
(напоминаем, что аддитивная постоянная отбрасывается при переходе от U к
J).
Одним из частных случаев, когда H(q, р) может быть представлена в виде
(78.5), являются системы типа Лиу-
§ 78] ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ 257
билля х), для которых кинетическая и потенциальная энергии имеют
следующий вид:
Т = {Ai + ... + {Bi'q\ BNq2N),
V =
Vi + • • • + vN
Ai ... An
(78.11)
где Ai, Вi, Vi зависят только от q , А2, В2, V2 - только от q2 и т. д.
Соответствующая гамильтонова функция при этом имеет вид
~2 (Pi/Bi + • • • + Pn/Bn) Vi FlV
Я =------------------------------------------- . (78.i2)
А1 + ... An
Обыкновенные дифференциальные уравнения типа (78.9), с помощью которых
задача сводится к квадратурам, имеют в данном случае следующий вид:
dKj dq i
- 2Bi (EA t - Vi -j- ai), ,..
dKj
dqN
- ^B n (BAn - -\- aN).
)
(78.13)
В качестве простого примера рассмотрим проблему Кеплера2) (§ 36). В
полярных координатах (г, Ф) имеем следующую лагранжеву функцию:
L - Т
v=s\ (г* + г*(r)2) + 7
(78.14)
!) Дополнительные детали, а также сведения о более общих системах
Штеккеля, которые также решаются методом разделения переменных, см.
Аппель [2], II, стр. 374-376; Леви-Чивита и Амальди [16], П2, стр. 343-
345.
2) Ср. Corben and S t e h 1 e [3], стр. 251-257, где подробно
исследован трехмерный случай с рассмотрением квантовых условий Бора -
Зоммерфельда. См. также Аппель [2], [1], гл. XI.
17 Дж. л. Синг
258
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
[ГЛ. II
а импульсы равны дЬ
ОГ •
Г, Го = - = Г20 (78.15)
db
(считаем, что масса частицы равна единице). Гамильтонова функция равна
тогда
но это выражение имеет форму (78.12). Уравнение Гамильтона - Якоби (78.2)
выглядит теперь так:
где а и Е - произвольные постоянные, a F получается квадратурой из
уравнения
Согласно (78.3) траектории определяются уравнениями
Очевидно, что такой метод можно применить, когда потенциал является любой
функцией г.
Метод разделения переменных требует специального выбора системы
координат. Так, в проблеме Кеплера ничего не удалось бы сделать,
пользуясь прямоугольными декартовыми координатами. В проблеме с двумя
центрами притяжения можно разделить переменные,
(78.16)
_1
2
^=Е. (78.17)
Полный интеграл его получаем в форме К = F(r, а, Е) + аО,
(78.18)
(78.19)
(78.20)
§ 78] ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ 259
преобразуя прямоугольные декартовы координаты (х, у) в эллиптические
координаты (qit q2) по формулам
х = с ch qi cos q2, у = с sh qi sin q2, (78.21)
если центры притяжения находятся в точках х = + с. Если один
притягивающий центр удаляется на бесконечность, а сила притяжения к нему
бесконечно возрастает, то приходим в пределе к задаче о заряженной
частице, движущейся в поле, которое является наложением однородного
электрического поля на поле Кулона (штарк-эффект)г).
Релятивистская проблема Кеплера исследована в § 116.
1) Подробное исследование см. Corben and S t е h 1 е [3], стр. 258-
264; см. также Аппель [2], I, стр. 349-352; Grammel [8], стр. 321; Peres
[20], стр. 243, 244. Лагранжево решение задачи двух центров см. Уиттекер
[28], стр. 112-114.
17*
ГЛАВА III
ПРОСТРАНСТВО ИМПУЛЬСА - ЭНЕРГИИ (PH)
§ 79. Пространство PH и характеристическая функция в пространстве
импульса - энергии. В главе ДН мы принимали за основу динамической теории
N + 1-мерное пространство событий QT с координатами хг, где1)
Хр *7pj •Tjv +i (79.1)
Рассмотрим теперь динамику в N + 1-мерном пространстве PH импульса -
энергии. Координатами в нем являются у г, где
Ур = Рр, yN+i=-H. (79.2)
Начиная развивать теорию, предположим, что имеет место уравнение энергии
Q(x, у) = 0 (79.3)
или, что то же самое, уравнение
Н = H(q, t, р), (79.4)
если разрешить уравнение (79.3) относительно yN+i. Для произвольной
кривой Г в пространстве PH, заданной уравнениями уг = ут(и), определим
новый тип действия как интеграл
А = ^ хт dyr, (79.5)
где величины хт (и) должны удовлетворять уравнению
(79.3), а в остальном произвольны. Записывая это
1 Обозначения см. в § 62.
§ 79]
ПРОСТРАНСТВО PH
261
уравнение в эквивалентном виде
А = \ (Яр dpP - tdH), (79.6)
и варьируя Г, получаем следующее выражение:
ЬА = [хт бг/г] + (Ьхг dyr - 6yr dxT). (79.7)
Если концевые точки Г закреплены (т. е. граничные значения уг постоянны),
то вариационное уравнение
ЬА = Ь ^ хт dyr = 0 (79.8)
вместе с условием (79.3) сразу приводит к каноническим уравнениям
dxT = dQ dyL = _ dQ
dw dyT dw dxT
при некотором параметре w. Эти уравнения совпадают с уравнениями (68.7) и
можно, как и прежде, называть кривые, удовлетворяющие им, лучами или
траекториями.
Тогда очевидно, что динамика в пространстве PH основана на уравнении
