Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
н = я0 + яш =
- 2 (ф (х) - ф (г/))2 + ml 2 Ф2 (") + 2 Q (ф (г)),
11*-ММ xezd xeZd
(1.15)
2 г
где Q (t) = 2 а2г > 0, г>1,
р-1
#о = 2 (ф(я) - ф(г/))2 + ^о2ф2(^)-
ЦХ-Р||=:1
Гамильтониан (1.15) -бинарный, трансляционно-инвариантный с радиусом
взаимодействия R = 2. В качестве меры % возьмем меру Лебега. Условные
распределения в любом конечном объеме У определены при любых граничных
условиях. Мы покажем, пользуясь теоремой Добрушина, что в этом случае
существует хотя бы одно предельное распределение Гиббса для г а мил ьт
они ан а (1.15).
При г = 1 мы имеем квадратичный гамильтониан, которому отвечает
гауссовское стационарное распределение (см. § 4, пример 3). Ниже
предполагается поэтому, что г>1. Возьмем в качестве компактной функции
M(p)=ch(p. Тогда задача сводится к нахождению таких постоянных К, с (ж,
у), 0 < с < 1, 2 | с (х, у) | ^
У
^ с < 1, что
Гch ф (х) ехр Ьф (х) 2 У (у) - тоФ2 (X)~Q (ф M)] d(P (х)
I_____________!_______1\х-и\1=1________________________J______<-
(* ехр /2ф (ж) 2 ф (^) " тоФ2 ^ (ф (ж))1 ^ф (*)
J I И*-г/1М )
<#+ 2 с(х, г/)сЬф(г/). (1.16)
уфх
Положим с(я, у) -(4d)~! при \\х - ?/Н = 1 п 0 в остальных случаях. Ясно,
что У | с (х, у)\ - 2 \ Остается
найти К. Мы покажем, что нахождение требуемого К вытекает из некоторых
формул, получаемых с помощью асимптотического метода Лапласа. Рассмотрим
42
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА
[ГЛ. i
интеграл
го
F (а) (tm) f exp {aq) - (ф)} dip,
- оо
2V
0> (ф) = 2 Срц>р, c2r > 0.
p=i
Лемма. При \а\ -> имеет место асимптотика
F (а) ~ exp [af (а) - Р (/ (в))] ]/~^ {а)у
где /(а)-минимум функции [at - ?P(t)], единственный при достаточно
больших Ы.
Мы докажем лемму чуть позже. Положим в (1.16)
6 = 2 2 Ф (у), & (ф) = Q (ф) + (tm)оФ2,
у: Из/-*11=1
0(6)
(* ch ф exp {&ф - & (ф)} аф
- оо
оо
| ехр {6ф - ЗР (ф)} ^ф
Г ехр {(Ь + 1) ф - 9 (ф)} с?ф
1 -оо
2 ОО +
J ехр {Ьф - & (ф)} dp
f ехр {(b - 1) ф - & (ф)} dp
\ lb) + D2 (b).
J exp {Ьф - (ф)} dip
- oo
Тогда на основании леммы _1_
2
D, (6) ~± ехр {(6 + 1) /(6 + 1)-^' (/(6 + 1))
-6/(6) + &'(?т,
D, (6) ~ -|-ехр {(6 - 1) / (6 - 1) - Г (/ (6 - 1)) -
-6/ (6) + $"(/(&))}.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЙБВСА
Положим ЫЬ) = bjib) - Qifib)) при достаточно больших \Ь\. Тогда L'(b)=
f(b). Предположим, что &>0. Случай b < 0 рассматривается аналогично.
Поскольку f(b)~>- оо при b о°, ТО
А
D1 (b) ~ ~ ехр {L ф -f- 1) - L (Ь)} оо при Ъ оо, 1).. (Ъ) ~ -^-exp \L (Ь
- 1) - L (Ь)} -> 0 при Ъ О,
и по теореме Лагранжа при некотором 0(b), 0< <6(6)<1,
D (Ъ) ~ Dx (b)
1
2
f ехр {L (b + 1) - L (6)} - ехР {/ (& + 0 (Ь))>.
Легко видеть, что /Ш~ const • Ь1/(2г"п при b -> оо и поэтому jib + 0(6))-
/(&)-*- 0 при b -> оо. Окончательно получаем теперь
J9 (b) ~ ехр { | / (Ь) | } при | Ъ | -> оо.
Пусть А таково, что одновременно D(b) < ехр {\jib)\i и ехр { I / (Ь) | }
< -у ch ^ при IЫ > Л. Положим ^ "= - та xD(b). Тогда при \Ь\
| Ъ\<А
?>(&)<?<?+2 с (х, у) ch ф (г/),
\\Х-у\1=1
а при \Ь\>А
Z)(b)<exp{|/(b)|><^ch(s
= ТсЬ(й 2 (Р(Р))<Й 2 сЬФ(г/)<
V /Н/-ocJJ=l / Цх-уЦ=1
<к+ X с (х, у) ch ф(у)
1|ж-2//1=1
па основании неравенства Иенсена для выпуклых функций.
44 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА (ГЛ. 1
Доказательство. Полагая ф = f(a)+ t, получим F (а) = ехр {а/ (а) - (/
(а))} х
оо
х Je,p{-qp!!""}л
- оо
Разобьем область интегрирования на две части:
3/2 - 2 Г 3/2 - 2 г
111 < а 27 1 , и 111 > а 2'_1 . Поскольку / (а) =
- <7 1^а2г 1j, то (/ (а)) = 67 (а2^ *) и в первой области интегрирования
2?*- к 3/2-2 Г 3/2-к
I ^(/t) (/ (а)) I ^ const • а2г"1 2Г-1 == const • а 2г~1.
При к ^ 2 последнее выражение стремится к 0. Отсюда легко получить, что в
первой области интегрирования интеграл эквивалентен
2л
(/ и)-
- оо
Далее, во второй области интегрирования при некоторой постоянной а,
0<а<1, функция - х
X (1 - a) t2 ~-^Ща)) t2r неотрицательна.
Отсюда непосредственно вытекает, что интеграл по второй области
интегрирования мал по сравнению с интегралом по первой области
интегрирования. Лемма доказана.
§ 6. Предельные распределения Гиббса для непрерывных полей и для точечных
полей
Имеется еще два класса случайных полей, где конструкция предельного
распределения Гиббса играет важную роль. Мы только упомянем эти классы и
в последующих главах почти не будем их касаться. Подчеркнем только, что
изучение этих классов полей - чрезвычайно важная и еще не исследованная
до конца область теории гиббсовских распределений.
§ 0] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПОЛЕЙ 45
Начнем со случайных d-мерных полей с непрерывным временем. Пусть Q -
какое-либо линейное, топологическое пространство вещественнозначных
функций фЫ=ф(#1, ..., xd), определенных на Rd, и |Ио - распределение
вероятностей, определенное на борелев-ской о-алгебре подмножеств Q,
называемое свободным полем. Например, jx0 может быть гауссовским
распределением. Возьмем функцию U(cp), такую, что для любой открытой
области VczRd J ехр - \lJ (х)) dx X
L v
X d|i0 (ф)<Соо. Тогда, зафиксировав значения функции Ф вне Г, т. е.
