Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Следующая гипотеза кажется верной, но не доказана.
Гипотеза. I g(H) | < оо =>- условие Пайерлса *).
Поскольку |9ф| >0, если ф Ф ф, ф^^(Я), из условия Пайерлса следует, что
периодические основные состояния изолированы.
§ 3. Основные состояния возмущенного гамильтониана
Рассмотрим периодический гамильтониан с конечным радиусом взаимодействия
Я0 и предположим, что число его периодических основных состояний конечно
и положительно и Я0 удовлетворяет условию устойчивости Пайерлса. Пусть
g(H0) = (фь фг, . . ., фЛ. Целью этой главы является описание при больших
р предельных распределений Гиббса для (г - D-параметрического семейства
гамильтонианов
Ям = По + щЖ + . .. + iir-JJr-ь (2.7)
где у = (jij, .. ., pr-i), | р | = шах | ц* | и каждый га-
1 < г < г
мильтониан Ни 7=1, .... г-1, также предполагается периодическим и с
конечным радиусом взаимодействия. Гамильтонианы П{ играют роль внешних
полей. Существенно (ем. далее), что их число на 1 меньше, чем число
основных состояний.
Пусть N и R обозначают общий период и максимальный радиус взаимодействия
Яг-х. Удельная энергия любой периодической конфигурации ф по отношению к
Ж обозначается через hv, (ф), nain (фд),
- 1<q<r
и граница конфигурации будет определяться с помощью s > max{7V, Ю. Эти
предположения и обозначения будут использоваться в дальнейшем без
дополнительных ссылок. Лемма 2 проясняет структуру ?'(//,,).
*) Недавно эта гипотеза была опровергнута Печерским.
§ 3] СОСТОЯНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ГАМИЛЬТОНИАНА 61
Лемма 2. Существует е0 > 0, зависящее лишь от 770, Я1, . . Нг-1, такое,
что для |р| < е0
0*g(HJ<=g(Ho),
?(ЯД = (ор: ор g(H0), М,
и Яд удовлетворяет условию Пайерлса.
Более того, если lpl<eo, то ЯДф|ор)> pol3opl при Ф = apU. s.), ор ^ йг(ЯД
Зф определяется с помощью g(H0) и ро >0 не зависит от р. Кроме того,
ЯДф|ар)> рц|3цф1 при ф = ар(а. s.), ар #(ЯД
где Здф обозначает границу, определенную с помощью #(Я,.), I jLtI < е0.
Константа рц>0 - функция р, удовлетворяющая условию Липшица по р на
множествах, где g(H]X) не меняется.
Доказательство. Обозначим через /&*(ф) удельную энергию ф^Й по отношению
к 77г, ? = 0, 1, ... . . ., г - 1. В первой части доказательства граница
конфигурации ф ^ Q определяется по отношению к g(H0) и 5 = 1 + maxKV, Я}.
Для любой конфигурации ф ^ Q рассмотрим компоненты
ОДф) - {х : х & Зф, ф(ТК8Ы)= орДИ^Ы)}, q = 1, . .., г.
Поскольку Hi - гамильтониан с конечным радиусом взаимодействия^
существуют константы Сг, зависящие лишь от Яг, Я, Я, 3, при которых
г
I Hi (Ф К) - 2 | 0, (Ф) | (Jn (ф,) - hi М) |< Ci | дц> |,
q=1
(2.8)
если ф = ор(а. 5.), ор^^(Я0), и i>0, в то время как
Н0 (ф I op) > р I Зф I (2.9)
из условия Пайерлса для 770. Таким образом, если ф е Q и
~ _ (ф]0*0, при ||ж|К?Я,
фь - it (*)> при 1К1[>
62
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
мы получим из (2.8) и (2.9) при
Ы (ф) - 2 я, (ф) hi (ф9)
g=l
im L = 00, что <2СгЯ0(ф) (2.10)
для i > 0 и где
ho(y)> Мф)+ ряо(ф),
(2.11)
2я,(ф) = 1, я9(ф)>0, g = 0,. . ., г, (2.12)
, V рФьП^ь(0)|
я°(ф) '1(tm) |WL(0)| '
(2.13)
п,М-НшМу11^(1')|, ,>0. (2.14)
Пусть ф^й, ф е= g(H0), тогда
г-1
К (Ф) = h0 (ф) + 2 \Hh (ф),
г=1
и из (2.10)-(2.12) следует
К (Ф) > К (г))) + я0 (ф)
г=1
г-1
+ 2 Pi 2 Яд (ф) hi (ф9) = hи (ф) - я0 (ф) 2 \Фг И) -
г=1 д=1
+
г-1
2.
г=1
2 Яд (ф) [hix (ф) - h0 (Ф)] -f- 2 ttq (ф) [^Ы (tyq) - д=1 д=1
К (Ф")1 > К СФ) + Яо (ф) [р - зс | |х | ] +
г-1
где С = S Си т. е.
i=l
+ 2 nq (ф) [Ац (ф9) - йц (ф) ],
5=1
г
к (ф) > к (ф)+-L Ря0 (ф) + 2 (ф) [К ем- к (oil
g-l
(2.15)
если ф е О, фе g(H0), I ц| < во = р/4 С.
I 3] СОСТОЯНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ГАМИЛЬТОНИАНА 63
Таким образом, Ай(ф)> АДф), если \|;^g(#o), такова, что /гм('ф)=/гй, и
неравенство будет строгое, если Ф &g(H0) или ф ^g(Ho), но Ар1(ф)>Ам.
Тем самым первое и второе утверждения леммы доказаны.
Чтобы доказать условие Пайерлса при I jutl <80, определим границу с
помощью g(Ho). В этом случае условие Пайерлса можно получить как простое
следствие (2.8) и (2.9). Действительно, если I piI < ео и ф = ф(а. s.), ф
е g(IIй), тогда
(ф I 'Ф) ^ н, (ф № +
г -1 г
+ 2 M-i 2 I *3 (ф) I (hi (Ф") " hi (Ф)) " I М-1 С I дф I >
г=1 q=l
г
>-j- Р15ФI + 21 'Мф) I (К (Ч>") - К (Ф)). (2.16)
д-1
причем последняя сумма неотрицательна. Заметим теперь, что
диф = дфи U Мф),
q :
тогда
II (ф | ф) > | 5цф |,
где
Рп = min 1-4-р, min
{ 1 ~ }
чем и завершается доказательство.
Следующее условие означает, что любое непустое подмножество g(Ho)
является множеством периодических основных состояний Яй, когда ц
пробегает куб ltu|<8o. Оно выражает некую линейную независимость
возмущающих гамильтонианов Н{, i = 1, ..., г-1. Именно здесь нам важно,
что их число в точности равно г - 1.
Определение 2.4. Пусть . . ., ?ц(фг)),
где ^(i|?g)== h^q)- Будем говорить, что семейство //ц полностью снимает
вырождение основного состояния По, если отображает пространство
параметров
64
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
(1 на всю границу
а: а = (я1?.. . ? ar), mill aq = 0]
