Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
3 (ф (?), ф &')) = - J In
Тогда (1.10) означает, что исходная статистическая сумма S модели есть
статистическая сумма для модели с гамильтонианом Н (ср) = s (ф ix ), ср
ix )) и дополнительным условием 2 Ф ix') = 0* Если в качестве
исходного потенциала взаимодействия взять минус логарифм 0-функции, то
3(ф(#'), ф ix")) = Ciyix') - - ф(#"))2. Построенную модель иногда
называют целочисленной моделью Изинга. В качестве меры % здесь
естественно взять меру, которая на любой функции ф(ж) равна 1.
Построенную модель естественно рас-
g 5] ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 31
сматривать как двойственную к исходной ХУ-моде-ли. Можно установить
соответствие и между конечномерными распределениями исходйой и
двойственной модели.
§ 5. Существование предельных распределений Гиббса
Первая проблема, которая возникает в связи с определениями §§ 1-3, есть
проблема существования: для каких гамильтонианов существует хотя бы одно
предельное распределение Гиббса. Мы начнем с первого простого результата,
относящегося к этой проблеме.
Пусть Ф - метрический компакт. Тогда по теореме Тихонова Q также
метрический компакт в топологий прямого произведения. Предположим, что
для любого конечного множества V <= Zd функция ЖДф) = = Жф(Ю) +
#(<p(F)l<p(Zd - V)) представляет собой непрерывную функцию на Q, а мера %
(см. определение 1.2) конечна.
Теорема 1.2. При описанных условиях для гамильтониана Н существует, по
крайней мере, одно предельное распределение Гиббса.
Доказательство. Возьмем произвольную возрастающую последовательность
конечных подмножеств Fi с: у2 с ... с Fn с.. м 1)7" = Zd и произвольную
по-
п
следовательность граничных условий <p(Zd - Т7*), &=* = 1, 2, ...
Выбранные последовательности подмножеств Vk и конфигураций <p(Zd- Vh)
определяют последовательность вероятностных мер Pk на пространстве ?2
Pu{d<!(Vh)\<?(Z4-Vh))^
xevh
Р,(Ф( z*-y*)) = i,
где р дается равенством (1.2). В силу компактности Q последовательность
Рк содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому
вероятностному распределению Р на Q. Для простоты будем считать, что сама
последовательность Рк слабо сходится к Р. Дока-
32
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ, 1
жем, что Р есть предельное распределение Гиббса для гамильтониана Я.
Достаточно проверить, что для любых двух конечных непересекающихся
подмножеств V, W и для любых непрерывных ограниченных функций /(ф(У)),
#(<р(ИО) выполняется равенство
J / (Ф {V)) g (ф (И7)) dP (ф) =
Q
" J g (Ф (W)) dP (Ф) [ j / (ср (У)) р (Ф (У) | Ф (Z* - У)) X
х П "*Х(Ф (*))]•
Аналогичное равенство справедливо для распределений Ph, если /с настолько
велико, что Vh => F, т. е.
j / (ф (V)) g (ф (ИО) dPk (ф)= jg (ф (ТУ)) dPh (ф) X
а
х [ j / (Ф (У)) р (ф (У) | ф (Zd - У))] П d% (Ф (х)). Интеграл f /(Ф
(V))p (Ф (У) | 9(Zd - У))]П (ф (*))
J осе У
есть непрерывная функция от ф^ - V) в силу непрерывности Hv(ф). Поэтому,
переходя в обеих частях равенств к пределу при к оо, получим нужное
утверждение. Теорема доказана.
Перейдем теперь к теореме существования предельных распределений Гиббса в
случае, когда пространство Ф значений переменных ф(ж), x^Zd есть
сепарабельное полное метрическое пространство. Тогда для любого конечного
V^Zd пространство Q(F) конечных конфигураций ф(Ю = {ф(я), x^V) также,
очевидно, представляет собой полное сепарабельное метрическое
пространство.
Определение 1.4. Пусть М - полное сепарабельное метрическое пространство.
Непрерывная функция h на М называется компактной, если для любого t, -оо
< t < оо, множество {т: h(m) ^ t) есть компакт в М.
Определение 1.5. Семейство вероятностных мер {J?} на М называется
относительно компактным, если
§ 5] ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 33
из всякой последовательности {Pn} с= {Р} можно выбрать слабо сходящуюся
подпоследовательность.
Следующая теорема представляет собой переформулировку известного критерия
Прохорова относительной компактности.
Теорема Прохорова. Семейство вероятностных мер {Р} относительно
компактно, если найдется непрерывная компактная неотрицательная функция
X dP (т) < С при всех Р е {Р}.
Возвращаясь к пространству f2 бесконечных конфигураций ф = {ф(;г), x^Zd},
фиксируем растущую последовательность конечных подмножеств Vp cz Z(l,
ное метрическое пространство, то ?2 также можно превратить в полное
сепарабельное метрическое пространство, положив для любых
Поэтому можно говорить о слабой сходимости вероятностных мер на ?2.
Нетрудно показать, что последовательность вероятностных мер {Рп} па ?2
слабо сходится, если и только если для всех FP, р > 1, ограничение Рп на
Q(VP) есть слабо сходящаяся последовательность вероятностных мер на
полном сепарабельном метрическом прост-
ранстве ?2(FP). Положим Р(р) = lini Рп I Q (Vp). Оче-
видно, что меры Р{р) согласованы и по теореме Колмогорова определяют
единственную меру Р и а всей о-алгебре 0 пространства ?2, ограничение Р
на ?2(FP) совпадает с Р{р). Ясно также, что предел Р не зависит от выбора
