Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
так, наводят также и следующие соображения. У дираковской частицы с
положительной энергией имеется два независимых состояния при каждом
значении импульса. Они соответствуют двум возможным направлениям спина.
Согласно принципам квантовой механики, каждая такая пара физических
состояний должна представляться ровно двумя векторами в гильбертовом
пространстве. Поэтому
§ 6. Представление Фолди — Вотхойзена
99
в обычной формулировке теории Дирака при представлении этих векторов
имеются излишества, так как соответствующие волновые функции обладают
четырьмя компонентами. Следовательно, должна существовать возможность
найти такое преобразование, после которого волновые функции свободной
дираковской частицы с определенным импульсом имели бы ровно две
компоненты, как в нерелятивистской теории Паули [621]. Эта проблема во
втором порядке по у2/с2 была решена Беккером [39], а точно Фолди и
Вотхойзеном [266] (см. также работу Тани [769]1)). Они
указали, что главная причина, почему в представлении Дирака
решения
записываются в виде четырехкомпонентных спиноров, та, что гамильтониан
содержит операторы, а именно матрицы а1, которые в представлении (4.24)
имеют матричные элементы, связывающие верхние и нижние компоненты
волновой функции. Оператор, который связывает верхние и нижние компоненты
волновой функции, будет называться «нечетным». Если бы при помощи
канонического преобразования оказалось возможным освободить гамильтониан
Н = са-р+ Ригс2 от нечетных операторов, то тогда можно было бы
представить решения двухкомпонеитнымн спинорами. Вместе с Фолди и
Вотхойзеном сделаем каноническое преобразование eiS с эрмитовым
оператором S:
ф = ф', (4.176а)
Н —> eiSHe~iS = Н'. (4.1766)
Оператор S выберем в виде
где w — действительная функция, которую следует определить в Н'
отсутствовали нечетные операторы. Теперь
//' = eiS (са-р + Риге2) e~iS = eiSP (сРа-р + иге2) e~iS = eiSPe-iSp (са-
p-f- Ригс2),
(4.178)
так как S коммутирует с Ра-р. Кроме того, в силу соотношения
Р(ра.р)п = (-1Г(Ра.рГР (4.179)
получаем
со со
Ре-« = Р2 (^)n(P«-p) W=2 (~2mc" )П ‘ Р)П ^ПР = (4Л8°)
71= 0 '« = 0
так что
Н' = e2iS (са- р + Ригс2) =
= Г cos Г-Ш. иЛ +-у'-р- sin ("-LPi иЛ.-l (са- р ~ Ригс2) =
[ v тс J 1 I р | V тс J J ' 1 11 - '
= Р иге2cos -[-с j pj -f
+ Tirf r|plccos(4?f®)-^c2sili G^)] • (4-181)
(4.177) так, чтобы
l) Ср. также работу Смородинского [930]. — Прим. ред.
1*
100
Гл. 4. Уравнение Дирака
Если теперь выбрать w так, чтобы коэффициент при а-p обратился в нуль, т.
е. если положить
^=rirarctg(^)’ (4Л82)
то Н' освободится от нечетных операторов и примет вид
Н' — р Г тс2 тс — + j р I с — l.?=L= 1 = (k YV2 + т2°2 — (р)-
L /р2+«2с2 /p24-m2C2j ^ У У Н UV
(4.183)
В представлении (4.24), в котором (3 диагональна, у решений уравнения
Н'ф' = ?'ф' верхние компоненты соответствуют положительной энергии, а
нижние — отрицательной. Если записать
гф' = + гф1, (4.184)
где
Ф;=1(1 + Р)Ф', ’ (4.185а)
2
Ф1=4(1-Р)Ф', (4.1856)
то
я'ф;=?(р)ф;, (4.186а)
Я'ф'_ = — Е (р)ф'_. (4.1866)
Заметим, что решения ф+(ф1) в сущности являются теперь двухкомпонентными
волновыми функциями, так как их нижние (верхние) компоненты всегда равны
нулю. Это можно также установить, замечая, что при
выборе w в виде (4.182) функция преобразования exp iS
запишется в виде
eis = Г 2Я(Р)__ 1 • (4Ш)
L ?(p) + mc2 J 2 V Е(р) 'V К )
Если подействовать ею на спинор с положительной энергией и+(р)
и учесть, что (су р + тс2) и+ (р) = р? (р) и+ (р), то получим
‘“?Мр> = [т^^ГЧ^+ИМр)- <4-188>
Оператор
/1 0 0 0\
1(1 + р) = [° 1 0 °| (4.189)
; I о о о о v
\о о о о/
обращает в нуль нижние компоненты, так что при действии expiS на
положительно-частотные спиноры (4.118а) и (4.1186) получаются спиноры
вида
о) ? <4-19°)
Кроме гамильтониана, особый интерес представляет анализ еще двух
операторов. Зададимся вопросом, как будет выглядеть оператор X в пред-
$ 6. Представление Фолди — Вотхойзена
101
ставлении Дирака, если в представлении Фолди—Вотхойзена (Ф. — В.) он
имеет вид х. Получаем
X = e-*xe« = х + inc -J5L _ in ^giirtlPL . (4.191)
2Ь (р) 2b(p)(ii(p) + mc2)|p| ' >
Этот оператор обладает свойствами
[Xi, Xj] = 0, (4.192)
[Хи pj] = ihdij, (4.193)
и, кроме того1),
— \Н XI = — X ——р _fe^f!+lL.Pc (4 1941
%l ’ J dt Л Е(р) ?(р) ’ [ч.гач)
так что в применении к многообразию решений с положительной энергией
производная оператора X по .времени есть оператор » который
можно отождествить с оператором скорости частицы. Оператор X совпадает
с «оператором координаты» для системы со спином 1/2,
который
вывели Ньютон и Вигнер [576]. При вращениях он
преобразуется как
вектор, а его собственные функции есть «локализованные волновые функции»,
удовлетворяющие всем требованиям, перечисленным в § 3 гл. 3. Кроме того,
при действии оператора X на положительно-частотную волновую функцию
получается снова положительно-частотная волновая функция. Пусть при
помощи фу,,о(:г) обозначается волновая функция состояния, локализованного
