Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
1, он дает 0. Это позволяет переписать выражение (4.144) следующим
образом:
4
й= S (/еЛ+eW) (wrPg). (4.151)
771=1
С помощью (4.143а) выражение (4.151) приводится к виду
Q = (/eA+jPg), (4.152)
и этим .достигается наша цель по вычислению суммы по промежуточным
состояниям.
Если нас интересуют состояния лишь с отрицательной энергией, то можно
определить аналогичный оператор проектирования
Л-<р> = т^ <4ЛИ>
со свойствами
Л_ (р) wr (р) = wr (р) (г = 3, 4), (4.154а)
Л_ (р) wr (р) = 0 (г = 1, 2), (4.1546)
(Л_ (р))2 = Л_ (р) = — 2 wr (р) ® wT (р). (4.154в)
г=3
Полезно отметить, что сумма Л+ и Л_ — единичная матрица
Л+(р) + Л_(р ) = /, (4.155)
а также что
Л+ (р) Л- (р) = Л- (р) Л+ (р) = 0. (4.156)
Вероятность какого-либо события пропорциональна квадрату модуля его
амплитуды М = WfQwt:
\М\2 = ММ* = (wfQwi) (WiQ*Wf) — (WfQwi)(wiy0Q*y0Wf). (4.157)
Здесь (?* —оператор, эрмитово сопряженный (комплексно сопряженный и
транспонированный) к оператору Q. Отметим, что в силу (4.61) произведения
матриц у в Q* обладают свойством у0 (у^...yv)* у0
= yv. . .у**,
a i заменяется на — i только в нематричных множителях.
Обозначим
Q' = у°<?*у°, (4.158)
так что
\М\2 = (wfQwi)(WiQ'Wf). (4.159)
Во многих задачах нас не интересует конечное спиновое состояние частицы.
Тогда по обоим конечным спиновым состояниям нужно просуммировать.
Согласно изложенному здесь методу, суммирование можно выполнить, вставив
подходящие операторы проектирования. Пусть начальное и конечное состояния
описывают спиноры, wt{р) и цц(р'), соответствующие положительной энергии
и импульсам р и р'. Тогда, суммируя
§ 5. Соотношения нормировки и ортогональности. Следы
97
по конечным спиновым состояниям, получаем
Сумма | М \2 по конечным спиновым состояниям
: 2 (wiQ'wrf)(wrfQwt) =
r= 1, 2
4 _ . ^
= 2 (®г(?'Л+(р') erw:wrfQWi) = шг<?'Л+ (р') (?шг. (4.160)
1=1 7 7
Если начальное состояние также неполяризовано, то по начальным спиновым
состояниям нужно усреднить
2
Среднее | М |2 по начальным ) ^ ...
и сумма по конечным спи- =-г- У Wr.Q’А+ (р') Qxuf. = новым состояниям
) . 1 1
’ Г—1
4 4
= Т 2 2 К)« (9'Л+ (р') ?Л+ (Р))ар (шг)р =
г=1 а, 0=1 4
~ 2
а, 0=1
= 4 Sp «?'л+ (Р') <?Л+ (Р))- (4.161)
2 (е'Л+(р')СЛ+(р))аЭ6аЭ =
Введем обозначение
L = Q'A+(p')QA+{p). (4.162)
Матрицу L можно представить в виде линейной комбинации 16 линейно
независимых матриц Гг, как это обсуждалось выше:
16
L — 2 ai^i — ail? (4.163)
i=i
Если вычислить следы от обеих частей (4.163), то вклад даст только член,
содержащий единичную матрицу
SpL = 4a,. (4.164)
Практически оказываются полезными следующие два свойства следов
произведения матриц:
1. След произведения нечетного числа матриц у равен нулю. Для
доказательства напомним элементарное свойство следа
Sp (ABC) = Sp (CHS) (4.165)
(это верно и для любой циклической перестановки). Выше мы указывали,
что существует матрица у5 со свойствами
, YsYh + = 0; (у5)2=— I (4.166а)
или
YsYAYs)'^ -Yu- ' (4.1666)
Отсюда
Y6YbiYh2 ••• Ynn(Y5)'1 = (-l)nYmYB2 Yum- (4.167)
Если вычислить след от обеих частей (4.167) и воспользоваться свойством
(4.165), то сразу же получим
( - 1)" SP (YmYn2 • • • YnJ = Sp (Ym - • • YnJ. (4.168)
98
Гл. 4. Уравнение Дирака
и, таким образом, след произведения нечетного числа матриц равен нулю. В
частности, отметим, что
sPYu = 0- (4.169)
Аналогично получаем
Sp Ys = — Sp [YmAs (Yu)-1] = — Sp у6 = 0. (4.170)
2. Если произведение содержит четное число п матриц, то
перестановочные соотношения позволяют свести след этого произведения к
сумме следов произведений, содержащих только по и—2 матрицы. Рассмотрим,
например, случай п — 2. С помощью перестановочных соотношений
YnYv + YvYn = ^guv (4.171)
получаем
j
Sp (YnYv) = Sp (YvYn) = v Sp (у,дЛЧ -r YvYb) = Sp / = 4^v, (4.172)
так как Sp/=4. Аналогично легко получить
Sp (YhYvYpYo) = ignogvp - 4gavgPil + ^gapguv (4.173)
Из (4.172) и (4.169) следует
Sp(A$) = 4A-? = 4A|i?,\ (4.174a)
SpA = 0 (4.1746)
и т. д. Другие методы вычисления следов см. в статьях Дэффина [191] и
Кайяньелло и Фубини [95].
§ 6. Представление Фолдп—Вотхойзеиа
Хотя мы выяснили многие свойства уравнения Дирака, однако мы
еще не дали физической интерпретации входящих в теорию операторов.
В той форме, в которой уравнение Дирака было записано выше, трудно
дать ему простую интерпретацию. Например, рассмотрим оператор х
х = -4-[Я, х]=са, (4.175)
который хотелось бы назвать оператором скорости. Так как aj=l, то
абсолютная величина проекции «скорости» на данное направление всегда была
бы равна с, что физически но разумно. Кроме того, поскольку [аь а2] ф 0,
то если определена проекция скорости на одно направление, одновременно
нельзя определить две другие ее проекции. Но это опровергается тем, что
существуют эксперименты по измерению скорости. Можно прийти к заключению,
что должно существовать другое представление уравнения Дирака, в котором
физическая интерпретация более прозрачна. На мысль, что это должно быть
