Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда и (р) у^и (р) = е (р) , если и нормированы условием и (р) и (р) =
= е(р). Подобным же образом легко проверить, что и (р) у5и (р) = 0. Такая
же техника может быть распространена на вычисление матричных элементов Гг
между различными начальными и конечными состояниями. Например, рассмотрим
матричный элемент и (р2) у$и (pt). Поступая как и прежде, с той лишь
разницей, что теперь используются два уравнения—для и(рг) и для м(р2),
получаем
2тси(р2)у5и (pi) — и (р2) (уьр! + р2Уь) и (рО- (4.130)
Так как у5 антикоммутирует с у^, то правую часть можно переписать в виде
“ (Рг) У^и (Pi) = (р? - ДО) и (р2) у5у„н (pj). (4.131)
Полагая /ц = р2, снова выясняем, что такой матричный элемент равен нулю.
Если же и (р2) есть решение с отрицательной энергией, то видно, что
результирующий матричный элемент не мал.
Рассмотрим далее соотношение ортогональности для.спиноров. Пусть и\ (р)
(г = 1, 2) —два решения с положительной энергией, соответствующие
импульсу р и спиральностям -f 1 и —1. Так как решения и\. и iu%
соответствуют различным собственным значениям оператора спиральности, то
они ортогональны
“+ (Р) К (Р) = бг* (г, s = l,2). (4.132)
94
Гл. 4. Уравнение Дирака
Решения м_( —р) с импульсом — р и отрицательной энергией также
ортогональны к иг+ (р). Они удовлетворяют уравнениям
($ + тс) и_ (— р) = 0 (4.133а)
и
и-( — Р )(р + тс) = 0. (4.1336)
Поэтому, умножая уравнение (f — тс) и+ (р) = 0 на и_ ( — р) слева,
получаем
и, (- р) fu+ (р) = /иш_ (- р) и+ (р), (4.134)
а умножая уравнение (4.1336) на и+(р), получаем
М-Р) $и+ (Р) = - тси- ( — Р) «+ (Р) (4.135)
и, следовательно, и_ ( — р) и+ (р) = 0. Обозначим два линейно независимых
и ортогональных решения с отрицательной энергией и с импульсом — р через
vs (р) (s = 1, 2):
ui ( — р) = Vs (р). (4.136)
Соотношение ортонормированности этих решений запишется в виде
цг (р) vs (р) = — 6rs. (4.137)
' Сведем теперь все соотношения ортонормировки вместе:
»+ (P) К (Р) = -^г (P) (Р) = М, (4.138а)
Мр)м+(р) = “+(р) Мр) = °- (4.1386)
На основании соотношений ортогональности и нормировки решения
удовлетворяют соотношению
2 {wr+a(p)w+p(p) —Ца(р)цр(р)} = 6ар (а, Р = 1, 2, 3, 4). (4.139)
Т= 1
Обратим внимание на порядок множителей: он соответствует прямому
произведению и на и, (и ®и), являющемуся матрицей 4x4.
Подобным же
образом условия нормировки (4.138а) и (4.1386) дают
2 ur+(p)u^(p)-or(p)ur(P) = 4. (4.140)
j-i
С целью упрощения обозначений введем для спиноров обозначение
Wr (р) = К (р) (г =1,2), (4.141а)
шг+2(р) = Мр) = М-р) ('? = 1,2). (4.1416)
После этого соотношения ортогональности (4.138) запишутся в виде
wm (р)йуп(р) = 4mbmn (т, п — 1, 2, 3, 4), (4.142)
где етп = +1 при тге = 1, 2 и ет = — 1 при т = 3,4. Соотношениям
(4.139) и (4.140) можно теперь придать вид
2 err'Wm (p)(g>®m (P) “ I (4.143а)
Щ=1
§ 5. Соотношения нормировки и ортогональности. Следы
95
4
2 zrrwm (р) wm (р) = 4. (4.1436)
7П=1
При вычислении эффективных сечений для процессов с участием частиц со
спином 1/2 часто бывает необходимо просуммировать по промежуточным
спиновым состояниям и, в частности, по промежуточным состояниям,
обладающим только положительной энергией, или аналогично только по
состояниям с отрицательной энергией. Пусть интересующая нас сумма имеет
вид
Q=S (fQwr)(wrPg)=j] S (UQa^l 2 WrQPQaga), (4.144)
r=l r=l a, (5=1 '0. <J=1 /
где Q и P — некоторые операторы (произведения матриц у); / и g — спиноры,
а сумма по г берется только по двум состояниям wr с положительной
энергией. В случае состояний с отрицательной энергией вычисления
выполняются аналогично.
Теперь мы постараемся найти ковариантные операторы проектирования,
подстановка которых в правую часть (4.144) позволит распространить
суммирование на все четыре состояния ауг(р) вместо двух, после чего
полученное выражение можно будет упростить с помощью формулы (4.143а).
Нужный нам оператор проектирования должен при действии на спинор w
оставлять его неизменным, если w — состояние с положительной энергией, и
обращать в нуль, если w — состояние с отрицательной энергией. Чтобы
построить такой оператор, вспомним уравнение Дирака для спиноров w (здесь
й, = с = 1):
(p — m)wr( р) = 0 (г=1,2), (4.145а)
(р -J- т) wr (р) = 0 (г = 3,4). (4.1456)
Эти уравнения наводят на мысль, что оператор проектирования
для положительно-частотных состояний с импульсом р можно
записать в
виде
Л+(Р) = 1^- (4.146)
Действительно, в силу (4.145а) и (4.1456) он обладает всеми свойствами,
которые должен иметь оператор проектирования:
Л+ (р) wr (р) = wr (р) (г = 1,2),- (4.147а)
Л+ (р) wr (р) = 0 (г — 3,4) (4.1476)
и
[Л. <р)1* = ( -Цр- )’ - =Л.'(Р). (4.148)
f = yVnYVv = -n (y|tyv + У^) PuPv = р2 = т2. (4.149)
В (4.148) учтено, что для свободной частицы
2
С помощью (4.143) и (4.147) легко находим
2
Л+(Р) = -^^-== 2 шГ(Р)® “'г(р)- (4.150)
Г= 1
96
Гл. 4. Уравнение Дирака
Далее отметим, что оператор Л+ег имеет те же свойства, что и оператор А+,
так как при действии на состояние с отрицательной энергией, когда гг — —
