Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
представления четырехмерной группы вращений, т. е. группы вещественных
линейных преобразований, оставляющих инвариантной квадратичную форму х\ +
х\ + х\ + х\ (см., например, Паули [633], Клеппнер и Мак-Интощ [458],
Рака [659], Роман [670]). В этом случае имеется шесть генераторов,
соответствующих вращениям в каждой из
42
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
шести координатных плоскостей. Обозначим эрмитов генератор вращений
плоскости p/v (p., v = l, 2, 3, 4) через MV]l= — M^v и введем, кроме
того, обозначения
М23 = М4, М31 = М2, М12=М3, (1.149а)
MU = NU Mi2 = N2, М43 •— 7V3. (1.1496)
После получения явного матричного представления генераторов для
преобразования координат можно проверить, что они удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям:
[Mh Mj] = mJhMh, (1.150)
\MU Nj] = IN I, Mj] = ielJkNk, . (1.151)
[Nh N j] =ie,ijkMk, (1.152)
так что если определить операторы
K,r=^(Mt + Nt), (1-153)
L^iMi-Ni), (1.154)
то для них будет характерно свойство коммутации К с L
[Кг, Lj] =0 (1.55)
и то, что компоненты К и L будут удовлетворять перестановочным
соотношениям для оператора момента количества движения
[Ки Кт] = ттпкп, (1.156)
[Lj, Lk\ = i&jkmLm. (1.157)
Теперь имеются два инварианта
У = K2 + L2 (1.158а)
и
G = K2-L2, (1.1586)
которые записываются через М и N в виде х/г (М2 + N2) и М • N и, как
легко проверить, коммутируют со всеми генераторами1). Поэтому мы можем
охарактеризовать каждое неприводимое представление парой индексов (к, I)
таких, что в этом неприводимом представлении К2 = к (к + 1) / и L2 = Z (Z
+ 1) /. Индексы к ж I могут принимать значения 0> 1/г> П 3/г,••• •
Унитарное представление (к, I) имеет размерность
!) Отметим, что генераторы, записанные в виде К и L, оказываются
расщепленными на две независимые системы, и, таким образом, в окрестности
единичного элемента четырехмерная группа вращений может рассматриваться
как прямое произведение двух трехмерных групп вращений. Под прямым
произведением G0K двух групп с элементами glt g2, ... и к1г кг, ...
понимают упорядоченную совокупность пар (gi, к[) с законом умножения,
определенным так, что, например, произведение пар (gT, ks) и (gt,-ku)
равно (gTgt, ksku).
§ 6. Четырехмерная группа вращений
43
{2kJrl)(2lJrl). Представление (0,0) соответствует скаляру, представления
(0, г/г) и (V2, 0) — двухкомпонентным спинорам, (V2, 1/г) —
четырехкомпонентному вектору и т. д. Генераторами спинорного
представления являются матрицы
М^2'0) = |аг, М^1/2) = |аг, (1.159)
= jVS0' (1.160)
Если ? и т) —спиноры, преобразующиеся соответственно по представлениям
(1/2. 0) и (0, х/2), то тогда и т)*т) являются скалярами, а величина
(?*т|, ?*a,T]) есть 4-вектор.
Если дополнить группу отражениями, то операторы К и L больше не будут
независимыми. Так, если в качестве основного отражения мы примем
операцию, при которой ж4—> — хк и хг—*? —жг (г = 1, 2, 3), и если R-—
оператор, соответствующий этому отражению, то легко проверить, что
.ff-N + N/?_ = 0
и
д_м-мд_ = о,
или равносильно
R. К = LR-
и
R-.L = К Д_.
ё
Перейдем к нахождению неприводимых представлений группы с отражениями.
Прежде всего заметим, что (2/c-f- 1) (21 -f- 1) базисных функций | к, тк;
I, mi), на которые натянуто пространство неприводимого представления
группы вращений без отражений, удовлетворяют соотношениям
(Ki ± iK2) | к, mh\ I, mi) = Y(к Т mh) (к ± mh+ 1)| к, mh± 1; I, тг)
Кг | к, тк, I, mi) = mh\k, mh\ I, тг) • (1.163)
и
{Li ± iL2) I к, jnh\ I, mi) = V{I =F mi) G ± mi + 1) I ^ mh\ l, тг±\)
Lz\k, mh\ I, mi) — mi\k, mk\ I, mt). . (1.164)
Отсюда и из соотношений (1.162а) и (1.1626) заключаем, что функция R-\k,
тк, I, mi) является собственной, функцией оператора L3 с собственным
значением mh и собственной • функцией Къ с собственным значением mi.
Основываясь, кроме того, на аналогичных выводах о действии операторов Klt
К2 и Lb Ь2 на функцию R-\k, mk, I, mt), можно проверить, что
(1.161а)
(1.1616)
(1.162а)
(1.1626)
R-\k, mk; I, mi) = X\l, т?гг; k, mk),
(1.165)
44
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
где Я, —постоянная, которая может зависеть от I, ти к, т^. Отсюда
следует, что при кф1 базис пространства, инвариантного относительно Л_,
образуют векторы | к, mh; I, mt) только вместе с векторами | Z, тй к,
гпъ) [размерность базиса 2 (2Z + 1) (2кф 1)]. Следовательно, при к ФI
неприводимым представлением группы с отражениями будет (к,1)@(1,к). В
случае спиноров неприводимым представлением теперь будет (0, 1/2)©(1/2,
0), причем следует подчеркнуть, что в рамках
расширенной группы спинор является четырехкомпонецтным. (Аналогичное
удвоение имеет место и в случае однородной группы Лоренца.) Неприводимые
представления (к, к) собственной группы являются также неприводимыми
представлениями и расширенной группы.
Представления четырехмерной группы вращений имеют интересные приложения к
квантовомеханическому описанию движения нерелятивистского электрона в
чисто кулоновском поле и к вопросу о происхождении вырождения спектра
