Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
оператору, а их собственные значения могут быть использованы для
классификации неприводимых представлений.
Для классификации унитарных представлений неоднородной группы Лоренца
удобно выбрать определенный базис в векторном пространстве, па котором
определены представления. Чтобы определить базис, составим из генераторов
группы полный набор коммутирующих операторов. Конечно, можно построить
много различных наборов коммутирующих операторов. Различные наборы будут
приводить к эквивалентным представлениям. Мы могли бы, например, выбрать
в качестве полного набора операторы И°ь, М2 и М3, но эти операторы
не инвариант-
ны относительно сдвигов. Полный набор коммутирующих операторов,
инвариантных относительно сдвигов, состоит из операторов и одной из
компонент Шц, скажем w3. Этот набор мы и примем для наших дальнейших
рассмотрений. Спектр собственных значений этих операторов определяет
собой область изменения переменных, нумерующих базисные векторы. Кроме
того, отметим, что в неприводимом представлении независимы только три из
четырех компонент импульса, так как р2 является инвариантом группы и
имеет в неприводимом представлении фиксированное значение. Таким образом,
базисные функции пространства, в котором действует неприводимое
представление, можно записать J р'0, p[, р'2, p's; ?), причем р’2 имеет
здесь фиксированное значение, а ? — переменная, соответствующая
собственному значению оператора w3. Важно отметить, что хотя мы и выбрали
полный набор коммутирующих операторов среди операторов группы, этот
набор, вообще говоря, не является полным набором коммутирующих
наблюдаемых физической системы. В общем случае существуют другие
инвариантные операторы (например, такие, как операторы полного заряда и
барионного заряда), которые коммутируют с операторами группы и
собственные значения которых, вместе с р'^ и ?, характеризуют состояние
физической системы. Поэтому более общей записью базисных векторов
пространства неприводимого представления будет |р'; ?; а), где через а
обозначены некоторые инвариантные параметры, являющиеся в физических
приложениях собственными значениями тех операторов, которые должны быть
добавлены, чтобы дополнить совокупность операторов (р^, w3) до полного
набора наблюдаемых. В дальнейшем мы часто будем опускать индекс а в
обозначении базисных векторов j р; ?; а). Отметим, что в выбранном базисе
преобразование сдвига является очень простым. Совокупность всех
четырехмерных сдвигов является коммутативной подгруппой неоднородной
группы Лоренца. Вслед-
56
Гл. 2. Группа Лоренца
ствие коммутативности все неприводимые унитарные представления этой
подгруппы одномерны и выражаются через экспоненту. Оператор,
соответствующий сдвигу на 4-вектор ад, имеет вид
U (а) = exp (— ia^). ? (2.64)
Таким образом, в неприводимом представлении преобразованию сдвига на а
соответствует умножение всех базисных векторов \р'; ?) на exp (— ia^p'v).
Неприводимые представления неоднородной группы Лоренца можно
классифицировать в соответствии с тем, является ли вектор рц
пространственно-подобным, времени-подобным, изотропным или равным нулю. В
последнем случае (рд = 0) полная система унитарных представлений
совпадает с полной системой (бесконечномерных) унитарных представлений
однородной группы (см. статьи Баргманна [30] и Наймарка [570]). Они не
будут рассматриваться дальше, так как, по-видимому, не соответствуют
каким-либо физическим системам, за исключением важного случая
тривиального тождественного представления, являющегося одномерным.
Принципиальный интерес для физических приложений имеют те представления,
в которых р2 = т2 — положительная постоянная, а также те, в которых р2 =
0. Сперва рассмотрим случай р2 = т2. В этом случае знак энергии р0/ j р0
| коммутирует со всеми генераторами и, следовательно, является
инвариантом группы. Таким образом, при любых значениях Р и W имеется два
неприводимых представления соответственно двум значениям р0/ | р0 | . При
р0 > 0 векторное пространство натянуто на базисные векторы, принадлежащие
одному и тому же собственному значению т.2 оператора р2, причем р0 =
+УД)2 -\-т2. Поэтому вектор | р, ?) можно записывать в виде | р, ?).
Для получения спектра w3 в неприводимом представлении рассмотрим
соотношение (2.61) в пространстве, образованном линейными комбинациями
векторов | р', ?) с фиксированным значением р'. Так как ри и wa
коммутируют, то здесь не возникает каких-либо трудностей или
неоднозначностей. Кроме того, удобно совершить преобразование Лоренца в
«систему покоя», в которой р' = 0, р'0 = т, и
w* = пг (0, М23, Мзи Мп) = т (0, Su So, S3).
причем
[iS^, $/] — m*
Операторы St подчиняются перестановочным соотношениям для момента
количества движения. Следовательно, собственные значения S2 суть s (s -[-
1) с s = 0, г/г> 3/2) 2, . . ., a St являются генераторами неприводимого
(2s -f 1 [-мерного представления трехмерной группы вращений. Таким
образом, в системе покоя оператор w равен оператору полного, момента
