Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
= %*аЛ — в А ? = Х*сгД + eewx*orftg. (1.116)
Последнее выражение и есть закон преобразования вектора. Отметим, что
хотя спинорные представления двузначны, величины у*с, и %*оЛ после
поворота на угол 2я вокруг любой оси принимают первоначальное значение.
Наблюдаемая величина, хотя и не может быть представлена спинором (из-за
того, что последний изменяет знак после поворота на угол2я), может
представляться билинейной комбинацией спинорных величин, так как подобная
комбинация обладает однозначными трансформационными свойствами при
вращениях.
Теперь вернемся к вопросу о свойствах спиноров при отражениях
(см. книгу Картана [109]). Для этой цели удобно сперва
рассмотреть
отражения в плоскости и, в частности, отражения в координатных
плоскостях. Рассмотрим отражение
хг —> х\ — — хи
х2—>х'2 = хг, ' (1.117а)
х3 —> х'3 — х3
или
/ — 1 0 0\
х'=д,_х, 7?i- = ( 0 1 °|, (1.1176)
\ 0 0 1/
причем ‘
= 1. (1.118)
Легко проверить, что 7?обладает следующими соотношениями коммутации с
генераторами вращений:
[7?i-, А3]+=[7?1_, А2]+ — 0,
[7?i_, Arf = 0,
где [С, D]+ — антикоммутатор С и D, т. е.
[С, D)+ = CD + DC. (1.120)
Оператор любого представления, соответствующий 7?i_, должен удовлетворять
таким же правилам коммутации с генераторами того же представления, т. е.
[7V, M2]+ = [7V,M3]+ = 0,
В случае представления веса'/ = г/2 эти перестановочные соотношения
вместе с условием Т\_ — 1 позволяют заключить, что при рассматриваемом
отражении спинор | преобразуется по закону
1-*1'=+оЛ, (1.122)
(1.119)
38
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
где мы произвольным образом выбрали знак « + » перед at, т. е. приняли,
что г) = В действительности спинор преобразуется по
двузначному представлению группы вращений, и, следовательно, Т\_ = ± 1
(так как мы можем рассматривать два отражения как вращение на угол 2л).
Поэтому представлением оператора отражения могут служить не только ± а4,
но и ± ia4. Прежде всего мы рассмотрим случай, когда а4 умножается на ± 1
(см. в этой связи статью Янга и Тиомно [870]). Можно проверить, что и при
отражениях в других координатных плоскостях Гг^2)=±аг и что, как
следствие этих законов преобразования, спинор при отражении х—» — х
преобразуется по закону
= (1-123)
(знак «±» обусловлен двузначностью спинорного представления).
Рассмотрим более общий случай отражения в плоскости Р, проходящей через
начало координат и перпендикулярной единичному вектору п. Если мы
разложим вектор х на параллельную и перпендикулярную к п составляющие
х = (х-п) п — [п х [n X х]], (1.124)
то отражению в плоскости Р будет соответствовать преобразование
х —»х' = — п (х-п) — [п X [п X х]] = х — 2п-(х-п). (1.125)
Вектор х' является зеркальным отражением вектора х в плоскости Р. При
таком отражении спинор ? преобразуется по закону
l-*l' = a-nl = Nl, (1.126а)
N = tr-n, 7V2 = 1, N = NT, (1.1266)
где знак у N, взятом в виде +<т-п, был выбран произвольным образом.
Обозначим преобразованный спинор N\ через %n> т- е-
Zn=NZ.
Теперь определим матрицу С
C = ia2=(_J J)
со свойствами
С2=- 1,
COiC—Gi
и спинор Т]
4 = iC%,
где ? —столбец с компонентами |4 и |2. При отражении в плоскости Р спинор
ц будет преобразовываться по закону
(1.131)
Так как ^ = N%, то, воспользовавшись (1.129а), (1.1296) и (1.130),
получаем
r]N = iCNl= —iCNCC\ = -iNCl= -Nx\. (1.132)
Л —> л N = iC%N.
(1.127)
(1.128)
(1.129а)
(1.1296)
(1.130)
§ 5. Вращения и внутренние степени свободы
39
Следовательно, закон преобразования спинора типа ц при отражениях отличен
от закона преобразования спинора типа ?. Эти оба рода спиноров не могут
быть сведены друг к другу, так как нет линейного преобразования, которое
могло бы преобразовать спинор типа ? в спинор типа тр Если бы
существовало такое преобразование D, что ? = Йц и |]v = -Dpn, то матрица
D должна была бы антикоммути-ровать с N, откуда путем соответствующего
выбора плоскостей Р следует, что D должна была бы антикоммутировать со
всеми матрицами а*. Но это возможно только при D = 0. Мы назовем спинор
типа ? спинором первого рода, а спинор типа ц — спинором второго рода.
Если ’?, ?' и т|, г\' являются спинорами первого и второго родов
соответственно, то легко проверить, что ?'*?— скаляр относительно
отражений, так же, как и т\'ТС\ и ц'*т]. (С другой стороны, комбинации
?'*?, Ц*СЪ,... и т. д. не являются скалярами, так как их значения
изменяются при собственных преобразованиях — вращениях.) Комбинации вида
т|'т?, т]'тСт], ?'ТС? преобразуются при отражениях, как псевдоскаляры.
Величины т|'*<тт| и г]'тСа? являются псевдовекторами, в то время как
ц'тСац и ?'тСаЪ. преобразуются при отражениях, как векторы.
Эти понятия легко обобщаются на скалярные, спинорные и векторные поля.
Так, скалярным полем ?(х) (в трехмерном пространстве) называют функцию,
которая при вращении х—>х! — Rx преобразуется по закону
? (х) ?' (х') = Г» (R) ? (х) = ? (х), (1.133а)
или эквивалентно
?' (х) = Tm (R) ? (Д_1х) = ? (Д^х), (1.1336)
