Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
1
о
' 2М0 2 S d3x 2 ^(х)]-^фЛх) + 0(щ) • (12.178)
*j=i
В действительности мы сделаем еще один шаг — пренебрежем отдачей,
D2
т. е. членом в Н™1КЛ, и ограничимся случаем, когда есть только
LA1 о
один нуклон, локализованный в начале координат. Иначе говоря, в качестве
гамильтониана возьмем
# = #0+#1, (12.179а)
#0 = #мезон + М0ф*ф, (12.1796)
I = — [ Рх Q (х) ф* (о- V) т-ср (х) ф =
р tJ
3 3
^ Pzq(x)]>} 2 ^П/фЧфДх). (12.179в)
i=l j=l
В равенствах (12.179) ф есть четырехкомпонентный оператор, описывающий
нуклон. Он преобразуется как двухкомпонентный спинор как в изотопическом,
так и в обычном пространстве. Точнее,
Ф=(^), (12.180а)
где фр и ф„ — двухкомпонентные спиноры в обычном пространстве
ч*=(Й0- ч’-ЧЯ)- <12-<80?Г|
х) Это обобщение преобразования Фолди—Вотхойзепа на случай теории поля.
Вспомпите также § 7 гл. 10.
360
Гл. 12. Простые модели в теории поля
Они удовлетворяют соотношениям антикоммутации
{Фр, ’фр) = Ф*} = 1. (12.181а)
= = ... =И’«, Ф?} = 0. (12.1816)
Функция источника Q (х) описывает протяженность области мезон-нуклон-ного
взаимодействия. Предполагается, что она сферически симметрична, т. е.
q(x)=q(|x|), и действительна. Кроме того, обрезающая функция будет
нормирована так, что
^ 6(x)cZ3a: = l. (12.182)
Если ввести компоненту Фурье y(k) = y(k2) функции р(х),
v (k2) = ^ e-ik'xp (х) d3x, (12.183)
то в силу равенства (12.182) и(0) = 1. Если Л0 — радиус области
взаимодействия, т. с. области, в которой q (х) отлична от нуля, тогда при
импульсах к, таких, что |к]К0>1, функция у (к2) быстро спадает к нулю. Во
всех дальнейших приложениях мы выберем
v (к2) = 1 при |к|<кмако, '
a iii7 (12.184)
= 0 при | k j > /смаКс1
где кшаис ~ 1//?<,. Величину юМакс = 'Ккмакс + Y? будем называть энергией
обрезания. Радиус R0 всегда будет предполагаться меньшим 1/ц. Он окажется
порядка 1/М, где М —масса нуклона.
Константу связи //ц = G/2M называют нсовдовекторной константой связи. В
теории, описываемой гамильтонианом (12.179), пренебрегается следующими
эффектами, которые могут оказать некоторое влияние на мозон-нуклонные
явления: а) отдачей нуклона, б) влиянием антинуклонов, в) возможным
прямым мезон-мезонным взаимодействием, г) влиянием АГ-мезонов и
гиперонов. При применении модели к мезон-нуклон-ным взаимодействиям при
низких энергиях предполагается поэтому, что эти эффекты малы и что в
некотором смысле они включены в обрезающую функцию и (к2). Отметим, что
гамильтониан (12.179) инвариантен при
а) пространственных вращениях,
б) вращениях в изотопическом пространстве,
в) обращении времени,
г) пространственных отражениях.
На самом деле вид гамильтониана в сущности полностью определяется
приведенными выше требованиями инвариантности и допущением Юкавы о том,
что л-мезоны испускаются в элементарном процессе взаимодействия по
одному: N^N + я. Член V<p появляется из-за того, что при пространственных
отражениях ср ведет себя, как псевдоскаляр. Поэтому единственный истинный
скаляр, который можно построить ии операторов <р, ф*ф и ф*<гф, есть ф*
(н-V) т-<рф. В силу требования инвариантности Hi относительно обращения
времени в гамильтониане взаимодействия не появляется никаких членов,
содержащих я (х) [я (х) — импульс, канонически сопряженный с <р(х)].
Инвариантность теории относительно пространственных вращений означает,
что полный момент-
§ 4. Теория Чу и Лоу
количества движения системы J постоянен во времени:
— у ^ ^2 [Мх)- ещж;Зйфг(х)]+, (12.185).
jkl
причем
[7„Я] = 0 (1 = 1,2, 3). (12.186)
Аналогично, инвариантности теории относительно вращений в изотопи-
ческом пространстве соответствует постоянство во времени вектора полного
изотопического спина:
Ti = у Ф*тгФ + \ d3x^ гтуjjth, (12.187)
jft
причем
[3Pj, Я] = 0 (i = 1,2,3). (12.188)
Теория цбладает еще одним характерным свойством: только мезоны в P-
состоянии взаимодействуют с нуклоном. Проще всего убедиться в этом, если
разложить оператор мезонного поля не по одночастичным состояниям с
определенным импульсом
Фг(г)= (2~уз/а' \ (aik6ik'х + «ike“ik'х) 1 (12.189а>
[a*, aJv]=M(3)(k-k'), (12.1896)!)
а по полной системе одночастичных состояний, характеризуемых полным
моментом количества’^ движения, его третьей компонентой и энергией:
фг(*)= 2 (0, ф) +
h,ltm k
+ ( - 1 )matkimYi, _т (0, Ф)) \/~ U (кг); | к | = к, (12.190а)
2)
Ifliklmi Q-jh'rm'] = ^ij&kh'^ll'^Tmn' • (12.1906).
Если подставить это разложение в выражение для Я/, то легко
видеть,
что только члены с I = 1 велики, когда размеры источника меньше де-
бройлевской волны я-мезона, поскольку функция /) (кг) только при 1=1
имеет не равную нулю производную в точке г = 0. Мезоны с I Ф 1 не
взаимодействуют с нуклонами и ведут себя как свободные.
Отсутствие взаимодействия в состояниях с 1ф1 можно понять следующим
образом. Рассматриваемая модель основана на предположении Юкавы 0 том,
что нуклон испускает и поглощает мезоны по одному в каждом элементарном
процессе: N^N + я. Так как при этом полный момент количества движения
