Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
не существует XI > 0. Было предположено, что такое явление имеет место и
в «реалистических» теориях поля, например, в квантовой электродинамике. К
этому вопросу мы позже вернемся. Из фиг. И видно также, что для данного L
и X2 > Хкрит хотя и не существует положительных значений X2, но есть
отрицательные. Отрицательные значения Х\ означают, однако, мнимость Я,0,
так что гамильтониан (12.79) не эрмитов, и, следовательно, вероятности
либо не сохраняются, либо не являются положительно определенными.
Такое же положение возникает при фиксированном значении X2 в пределе при
/(со)—>1 и L — >со. В этом пределе X2 становится отрицательной, а Х0
мнимой величиной, что опять-таки означает неэрмито-востъ гамильтониана.
Эту трудность можно выразить несколько иначе, если рассмотреть постоянную
нормировки Zy, которая выражается через перенормированную константу
связи:
Zv=-Sv=l-X2L. (12.154)
А0
§ 2. Модель Ли
353
Мы видели, что Zy есть вероятность найти «голый» V-квант в физическом
состоянии V-частицы. Следовательно, эта величина должна быть заключена
между 0 и 1, 0<Zy<l. Однако равенство (12.154) показывает, что при
достаточно больших постоянная Zy может быть
отрицательной.
х2
Лкригп
Доказательство того, что Zy должна быть положительной величиной, можно
получить, рассмотрев среднее по вакууму от антикоммутатора [F(p), F*(p')]
+
(О | [F (р), F* (р')]+ ! 0) = 6<3) (р — р'). (12.155)
Так как F(p)|0) = 0, то лишь первый член антикоммутатора дает вклад и
2 (0 I F (р) | п) (п ] F* (р') I 0) = 6<3> (р - р'),
(12.156)
где {| п)} — полный набор состояний. Выберем в качестве {j/г)} физические
состояния, т. е. собственные состояния Н. В силу правил отбора (12.92)
только состояния физической V-частицы и состояния N-0-pacce-яния будут
давать вклад в сумму. Подставим в (12.156) эти состояния, выраженные явно
с помощью перенормированной константы связи:
с / (со,.)
\dk , /' ^---— |Vp_k, 0k), (12.157)
I Vp) = Zy21 Fp) +
(2 я)*
i Nq, 0fc)+ = j Vq, 0k)+ZV®-
Я2 / (Шк)
У 2шк (mY — rnN — cok)
/ K)
(2я) /г V 2cok h (cok-j-ie)
/(c-V)
(2л)3 у 2cok h (cok -]- ге)
— \ dk'
is) J
F 2cok, (cok — tok,+ ie)
Fq+k)+
7Vq+k_k', 0k'}, (12.158)
где
h is)
1 + (2^3-(WlN + “k'_Wlv) S
dk' I / (шк,) |2
(2л)3 23 с. Швебер
2шк,(теу — »iN — шк,)2 шк,_(шк_|-г'е)
(12.159)
354
Гл. 12. Простые модели в теории поля
Получим
,8'» (р - р') (1 + ^ $ Л " в“’ <Р - Р') о 2-160«>
Z
или
№ С „ I f (“к)
2
= 1 + (12-160б>
Таким образом, постоянная Zy положительна и меньше единицы. Очевидно, что
этот результат противоречит соотношению (12.154) при достаточно больших
X2L. Нужно отметить, что неравенство 0<Zy<l не зависит от детальной
структуры / или h, поскольку интеграл в правой части (12.160)
положителен. Однако на самом деле предполагалось, что состояния V-частиц
и N-9-рассеяния образуют полную систему состояний в подпространстве,
которое характеризуется собственными значениями 6^=1, ^2 = 0. Поэтому
исследуем заново спектр собственных значений// в этом подпространстве. Но
прежде удобно определить перенормированный оператор для V-частицы
FB(P) = Zv1/2F(p). . (12.161)
Этот перенормированный оператор обладает тем свойством, что он имеет
конечные матричные элементы между физическими состояниями даже при / (ш)
—> 1. В частности,
(0 | Vr (р) | VP') = S<3> (р — р'), (12.162)
в отличие от оператора V (р), гматричные элементы которого между
физическими состояниями пропорциональны Zy2, причем Zy1 расходится в
пределе /—>1. Заметим, что перестановочные соотношения для
перенормированных операторов
[П(р), -MpOn^ZyW^p-p') (12.163)
имеют более сильную особенность в пределе при /—>1, чем перестановочные
соотношения для неперенормированных операторов. Гамильтониан, выраженный
через перенормированные операторы и перенормированную константу связи,
имеет вид
Н0 = wiyZy ^ dp V% (р) Vr (р) -f ^ dp N* (p) N (p) ^ dk ш (k)
a* (k) a (k),
(12.164)
Hr
X \dk^LCdp{Ffc(p)Ar(p_k)fl(k)-
J у 2cok J
(2я),/,г J у 2co
-f- N* (p — k) a* (k) Vr (p)} — bm\jZ\ ^ dp Vr (p) Vr (p). (12.165)
.
Далее мы опустим значок R у перенормированных операторов V-частиц,
поскольку мы будем иметь дело только с такими операторами.
Собственные состояния Н, соответствующие gt = l, g2 = 0 и импульсу р,
определяются уравнением
Н ] р) = (mN 4- Q) jp), (12.166)
где для 12 будут допускаться любые значения между — оо и .-{-со, а |
р), как мы видели, имеет вид
| р) = pF* (р) | 0) + ^ dk Ф (k) iV* (р -к) а* (к) [0), (12.167)
§ 2. Модель Ли
355
где |3 — некоторая постоянная. Подставляя это выражение в (12.166),
получим два условия для |3 и ф:
(ту —ту — Q — 6mv)P= — \3, \ dkf-~=q> (к), (12.168а)
(2я) 72 5 у 2сок
X п 1 («к)
(сок-Й)ф,(к)= (12.1686),
Zy (2я) 72 у 2о)к
Условие совместности имеет вид О = Zy (ту — ту — Q) х
г „ Я,2 с dk. I / (со,.) !2 п
1 + (ту + Q - mv у— \ -9—7. г- , (12.169)
L v (2я)з J 2сок (сок О) (>nv— mN — сок) _]’ v '
ok (cok 9)) (itiy mN wk)
ИЛИ
/г(Й) = 0. (12.170)
Здесь мы использовали значение 6ту, даваемое равенством (12.101), н
