Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
26 Глава 2
Рис. 11. Каноническое разбиение тора.
рис. 14 равна окружности или, другими словами, удвоенной бесконечно удаленной прямой.
Рассмотрим теперь разбиение некоторых многообразий, цепи, отвечающие этим разбиениям, и границы цепей.
1. Двумерная сфера (S2). Простейшее разбиение — отметить одну точку. Полученное разбиение содержит одну нульмерную и одну двумерную клетки, причем последняя гомеоморфна внутренности круга бесконечного радиуса. В соответствии с этим нульмерные (/0), одномерные (Zi) и двумерные (Z2) цепи имеют вид:
l0(S2)=aa, I1(S2)=O, I2(S2)=Jg. (2,1.9)
Все цепи являются циклами, т. е.
AZ0(S2) = O, AZ1(S2) = O, Al2(S2) = O. (2.1.10)
Первые два равенства очевидны. Третье же равенство имеет место, потому что отличной от нуля границей двумерной клетки может быть только одномерная; в данном случае одномерных клеток вообще нет.
2. Двумерный тор (Pi). Каноническое разбиение тора состоит из параллели и меридиана (рис. 11а). Нульмерной клеткой является их пересечение. Это разбиение «разрезает» тор в прямоугольник (рис.116) — единственную двумерную клетку. В соответствии со сказанным группы цепей имеют вид:
Io(Pi) = сна; Zi(P1) = ^b1 + p2b2, I2(P1)=^g. (2.1.11)
Рассмотрим границы цепей. Легко установить, что
AZ0(Pi) = O; AZi(P1) = O; AZ2(Pi) = 0.
(2.1.12)
Теория гомологий 27
Первые два равенства очевидны (границы точки — нуль, одномерные клетки — замкнутые линии). Последнее же из равенств (2.1.12) следует из того, что при любой ориентации контура клетки g противолежащие стороны прямоугольника на рис. 116 могут входить в Ag только с разными знаками (относительные ориентации противолежащих сторон определяются схемой отождествления точек на рис. 10). Поэтому
Al2(P1) = 7Дg = j(b2 -Ьі-Ь+Ь.)= 0. (2.1.13)
Таким образом, все цепи канонического разбиения тора являются циклами.
3. Двумерный n-крендель (Pn). Рассмотрим вначале случай п = 2. Такой крендель может быть получен склеиванием двух торов с отверстиями О и О' («ручек») по периметру этих отверстий (рис. 12а).
Рис. 12. Крендель Pi-
На рис. 126 приведена гомеоморфная кренделю P2 плоская фигура (пунктирные линии указывают схему идентификации точек противолежащих сторон). На рис. 13а воспроизведено каноническое разбиение кренделя, аналогичное каноническому разбиению тора (одна нульмерная клетка и одна двумерная). Число одномерных клеток в этом случае равно четырем. Это же разбиение с ориентацией клеток показано на рис. 136.
В соответствии с изложенным, имеем следующие группы цепей:
4
Z0(P2) = аа-, I1(P2) = YjPibi; Z2(P2) =Ig. (2.1.14)
і
Так же, как и в случае тора P1, легко устанавливается, что все цепи являются циклами:
Al0(P2) = Al1(P2) = Al2(P2) = 0. (2.1.15)
28
Глава 2
Рис. 13. Разбиение 2-кренделя Рг-
Аналогичным образом получается и разбиение n-кренделя (Pn), содержащее одну нульмерную клетку, одну двумерную и 2п одномерных:
2п
h(Pn) = eta,', = h(P2) = lg. (2.1.16)
I
При этом все цепи опять являются циклами:
Al0(Pn) = A h(Pn) = A I2(Pn) = 0. (2.1.17)
4. Проективная плоскость (Ni). Рассмотрим два разбиения,
а) Простейшее разбиение опирается на гомеоморфизм проективной плоскости кругу, у которого диаметрально противоположные точки граничной окружности отождествлены (рис. 8). Разбиение с наименьшим числом клеток показано на рис. 14. Оно состоит из одной вершины (нульмерной клетки), одной замкнутой линии — бесконечно удаленной прямой и одной двумерной клетки.
Теория гомологий 29
Соответственно все три группы цепей имеет вид:
Io(N1) = Cta-, I1(N1) = Pb; I2(N1) = Jg. (2.1.18)
Рис. 14. Разбиение проектив- Рис. 15. Разбиение (Ni) (две двумерной плоскости (JVi) (однокле- ные клетки), точное).
Нульмерная и одномерная цепи являются, очевидно, циклами. Граница же двумерной цепи не равна нулю:
Al2(N1) = J Ag = j2b = 2j b. (2.1.19)
Подчеркнем, что граница Ag двумерной клетки g равна 2Ь, а не Ь, так как при обходе контура в направлении тонкой стрелки замкнутая линия b (бесконечно удаленная прямая) проходит дважды.
б) Исходя из гомеоморфизма проективной плоскости сфере с вкле-еным листом Мёбиуса, можно указать другое разбиение проективной плоскости. Оно показано на рис. 15. Разбиение содержит две нульмерные (ai, а2), три одномерные (Ьг, Ь2, Ь3) и две двумерные (g1, g2) клетки. Одна из них (gi) есть одноклеточное разбиение листа Мёбиуса, другая (g2) — то, что остается после «вырезания» листа Мёбиуса, т. е. го-меоморфная кругу (сфера с дыркой). Группы цепей имеют вид:
Io(N1) = aiai + а2а2; з
Ii(N1) = Ytfcbi-, (2.1.20)
1
Ii(N1) =Jlgl+ j2g2.
зо
Глава 2
Далее для границ имеем:
Alo(Ni) = 0; Ali(Ni) = /Зі (аг — аі);
Ah(Ni) = 7х(2Ьг — b3) - J2Ьз = Zlib2 — (71 + 7г)&з-
(2.1.21)
Таким образом, в данном разбиении циклом является только нульмерная цепь. Одномерная группа цепей Ii имеет подгруппу циклов, выделяемую условием /? = 0.
5. Бутылка Клейна (N2). Эта поверхность, как упоминалось выше, гомеоморфна сфере с двумя вклееными листами Мёбиуса. Соответственно этому разбиение N2 имеет вид, показанный на рис. 16. Оно разбивает N2 на три двумерные клетки: на две клетки, получающиеся из двух листов Мёбиуса, и на одну сферу с дыркой. Кроме того, имеется три нульмерных и шесть одномерных клеток. Группы цепей определяются поэтому формулами:
