Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Имея клеточное разбиение, можно приступить к построению клеточного комплекса. Для этого необходимо ввести понятия группы цепей и оператора границы.
Пусть {«^} — совокупность всех клеток многообразия данной размерности d. Согласно предположениям, их число конечно (г = 1, ... , па)- Рассмотрим формальные линейные комбинации с цели ми коффициентами:
nd
ld(a)-^2aiat OiGZ. (2.1.1)
г=1
Выражение такого вида называется цепью размерности d многообразия М. Считается, что 1 = 0, когда а; = 0. Для цепей можно ввести
операцию сложения. Суммой цепей
п т
к = ^ajai и І2 = ^2°%аі (2.1.2)
і= і і=і
называется цепь
п
h + І2 = 5Z(ai + «і)аі- (2.1.3)
І= I
Цепи данной размерности относительно операции сложения образуют аддитивную абелеву группу — группу цепей L.
Введение цепей целесообразно, потому что кратные многообразия (аа) имеют геометрический смысл. К кратным многообразиям приводят функциональные зависимости. Например, пройдя окружность в комплексной плоскости г, мы совершим двойной оборот по окружности в плоскости Z2. В топологии с функциональными зависимостями такого типа мы встречаемся при непрерывных отображениях разных многообразий друг в друга1. Известно, например, что проективная плоскость гомеоморфна полусфере, причем бесконечно удаленной прямой
1HanoMHHM, что с логической точки зрения функциональная зависимость есть
24
Глава 2
отвечает граничная окружность (экватор) с отождествленными диаметрально противоположными точками. Таким образом, каждой бесконечно удаленной («несобственной») точке отвечают две диаметрально противоположные точки экватора, а каждым двум таким точкам экватора — одна несобственная точка. Поэтому полный оборот по экватору дает двойной оборот по бесконечно удаленной прямой (напомним, что на проективной плоскости каждая прямая — замкнутая линия). Этот пример показывает, что кратное многообразие может быть отображено в обычное. Один из общих способов отыскания «обычного» многообразия, гомеоморфного кратному многообразию аа, сводится в принципе к следующему: введем некоторую непрерывную — a-значную функцию точки на многообразии а; тогда многообразие, на котором эта функция однозначна, будет гомеоморфно аа. Здесь явно просматривается связь с римановыми поверхностями аналитических функций.
Перейдем к построению оператора границы. Оператор границы Д — это линейный оператор, который действует из группы цепей Ld размерности d в группу цепей Ld ~Л размерности d — 1
Д: La-^La-1. (2.1.4)
В силу линейности его достаточно определить на клетках. Границей d-мерной клетки а называется образ сферы Sd-1 при отображении (ра (см. п. 2 определения комплекса). Оператор Д ставит в соответствие клетке а совокупность клеток размерности d— 1, принадлежащих границе а. Уточним это соответствие. Ориентируем некоторым образом сферу Sd~х. При отображении (ра сфера Sd-1 переходит в границу клетки а. При этом клетка Ь, принадлежащая границе, может иметь несколько ,_12
прообразов на сфере Sa . Тогда матричный элемент Д? оператора Д есть целое число, равное числу прообразов клетки b в Sd-1 с учетом их ориентации. Число Д? называется коэффициентом инцидентности3.
частный случай отбражения: точки многообразия, на котором задана функция, отображаются в точки комплексной плоскости. В общем случае мы можем говорить о функциях со значениями не из комплексной плоскости, а из других многообразий («значением» функции будет тогда точка этого другого многообразия).
2Отображение (ра не является гомеоморфизмом, а только непрерывно!
3B дальнейшем мы определим понятие степени отображения (см. 3.4), которое совпадает с коэффициентом инцидентности.
Теория гомологий
25
Если b не принадлежит границе а, то будем считать, что Ag = 0. Таким образом
Aa = J^Agb. (2.1.5)
ь
Эта формула позволяет определить оператор Д для цепи любой размерности.
Из определения оператора Д следует его фундаментальное свойство:
Д2 = 0. (2.1.6)
Его достаточно проверить для одной клетки, т. е. что выполняется равенство (см. (2.1.5)):
EaSaC = 0' (2Л-7)
ь
Для доказательства заметим, что данная клетка с размерности d — 2 в границу различных клеток Ь, составляющих границу клетки а, входит с противоположными ориентациями. Интуитивно ясно, что граница клетки сама по себе не имеет границы. В этом заключается смысл равенства (2.1.7). Теперь можно определить клеточный комплекс многообразия М. Клеточным комплексом называется совокупность групп цепей Ld = 0, ... , п (п = dim M) и оператора границы А:
Ln A Ln-1 А ... A L0, (2.1.8)
при этом существенно выполнение свойства A2 = 0.
Цепи, границы которых равны нулю, называются циклами. Поясним, каким образом алгебраическая граница дает возможность выявлять топологические свойства многообразия. Схемы отождествления сторон прямоугольников на рис. 8 и 10 отвечают одноклеточным разбиениям проективной плоскости и тора (рис. 11 и 14). Отличие тора от проективной плоскости в схеме отождествления проявляется в том, что алгебраическая граница двумерной клетки на рис. 11 равна нулю, тогда как алгебраическая граница двумерной клетки на
