Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
(2.1.26), как наиболее простое из двух рассмотренных. Мы имеем
(2.2.20)
Теория гомологий 41
Этот результат на основе формул (2.1.22) и (2.1.23) устанавливается совершенно так же, как в случае разбиения б) проективной плоскости. Группа Ci(N2) одномерных циклов имеет вид:
Ci(N2) = [Pibi + Р2Ь2},
а подгруппа циклов, гомологичных нулю, определяется равенством:
Bi(N2) = {27(Ьі+Ь2)}.
Переписав Ci(N2) в форме:
Ci(N2) = P+(bi + b2) + (3-bi,
где
P- = Pi — P2I P+ = Р2,
мы приходим к следующим заключениям. Общий вид смежного класса по подгруппе Bi(N2) дается выражением:
{(2т + P+)(bi + b2) + P-bi}.
Смежные классы с различными Р_ различны. Если же коэффициенты P- одинаковы, то смежные классы различны, когда разность:
P+ - = 27' + 1,
т. е. является нечетным числом. Фактор-группа Hi(N2) разбивается, следовательно, на две подгруппы: подгруппу
Bi(W2), (h + b2) + Bi(N2)
и подгруппу
P-(h-b2)+B1(N2).
Первая из этих подгрупп изоморфна Z2, вторая — Z. В результате имеем
#1 (W2) SI Z © Z2. (2.2.21)
42
Глава 2
Что касается H2(N2), то совершенно так же, как и в случае проективной плоскости, находим
H2(N2)** 0. (2.2.22)
Читателю предоставляется получить формулы (2.2.20) — (2.2.22), исходя из разбиения рис. 16 (формулы (2.1.22) — (2.1.24)).
Полученные результаты позволяют почувствовать полезность аппарата групп Бетти. В самом деле, сравним тор и бутылку Клейна. Выше отмечалось, что хотя эти две поверхности не гомеоморфны, их эйлеровы характеристики равны
X(Pi) = X(N2) = 0;
Для того, чтобы их различить, кроме задания эйлеровых характеристик, надо еще словесно указать, что тор — ориентируемая поверхность, а бутылка Клейна неориентируема. Теперь же различие этих двух поверхностей сформулировано алгебраически. Именно, это различие проявилось в неизоморфности гомологических групп:
Hi(Pi) ? H1(N2), H2(P1) ? H2(N2). (2.2.23)
Неизоморфность гомологических групп может быть выражена с помощью чисел. Такими топологическими «квантовыми числами» являются числа Бетти. Они будут рассмотрены в следующем разделе.
В заключение этого параграфа отметим, что во всех рассмотренных примерах
H0 = Z.
Это обстоятельство неслучайно и обусловлено тем, что рассматривались только связные поверхности. Если же многообразие несвязно и состоит из к связных компонентов, то для нульмерных гомологических групп Ho имеет место изоморфизм:
Ho = Z © ... © Z. (2.2.24)
-----v----/
к
Таким образом, нульмерные гомологии не очень интересны — группа No фактически содержит лишь информацию о связности многообразия в указанном выше смысле.
Теория гомологий
43
Подчеркнем еще один общий результат, полученный в предыдущем рассмотрении. Мы имели возможность убедиться (см. формулы (2.2.14)-(2.2.16)), что все двусторонние замкнутые поверхности Pn имеют группы гомологий, нё содержащие (в прямой сумме) конечных (циклических) подгрупп типа Z2, которые содержатся в гомологических группах неориентируемых поверхностей Hn. Насколько нетривиально появление циклических подгрупп Z2 в гомологиях видно из того, что наличие таких циклических подгрупп в гомологиях было первоначально «просмотрено» Пуанкаре в его первой топологической работе Analysis situs (1895), совершенно изумительной по богатству идей.
2.3. Числа Бетти и характеристики кручений.
Как следует из предыдущего, группы гомологий являются абелевыми группами с конечным числом образующих или, как говорят иногда, конечно-порожденными группами6.
Во всех рассмотренных примерах, группы Ht имели вид:
JaT2 — Z ф . .. ф Z + Gm2) (2.3.1)
где Gm2 — конечная группа порядка т2 (в наших примерах Gm2 = Z2). Этот результат в действительности является частным случаем общей алгебраической теоремы: конечно-порожденная группа разлагается в прямую сумму свободных циклических групп и группы Gm2 конечного порядка m2. В свою очередь, любая конечная абелева группа Gm2 (такие группы называют также периодическими) разлагается в прямую сумму циклических групп, причем здесь имеет место аналог теоремы Фурье для периодической функции: порядки всех циклических слагаемых в указанной прямой сумме кратны порядку /i > 1 одного из слагаемых. Более того, порядок Д каждого к-го слагаемого является делителем порядка fk+i (fc+1 )-слагаемого (нумерация выбрана так, что /*< > /*, если к' > к). Таким образом
6 Напомним, что абелевой группой с конечным числом образующих называется такая группа, что любой ее элемент может быть представлен в виде линейной комбинации некоторого конечного числа одних и тех же элементов группы; эти элементы называются образующими группы, а их совокупность — базисом.
44
Глава 2
Gmr — Zд(г> © ... © Zд(г), /W1 > /іг), /Г > 1, П /Г =
1 ” *=1
(2.3.2)
причем fl делится на /*+1. Число свободных циклических слагаемых рг в выражении (2.3.1) называется рангом группы Hr или числом Бетти размерности г многообразия. Числа же
f[r\...,flr) (2.3.3)
в выражении (2.3.2) называются коэффициентами кручения группы Hr или коэффициентами кручения размерности г многообразия1.
