Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ът = Ыг+1 + Lr(N) є Br(M, N).
Поскольку Д/r+i есть цикл (Д(Д/г+і) = 0), его образом при граничном гомоморфизме (2.6.11) является нуль. Образами элементов Lr(N) являются их границы, т. е. циклы br_i(N) из Cr^(N), гомологичные нулю в N. Они образуют подгруппу Br-^N). Тем самым установлено, что
Br^1(N)
или
Br(M, N) 0(Hr(M, N))
Д..
0(tfr_i(7V)),
Теория гомологий
67
как и должно быть при всяком гомоморфизме. Для того, чтобы найти Im Д„, нужно только установить теперь образ негомологичного нулю относительного цикла ст (Cr ф Ьг) при граничном гомоморфизме. Так как
где Ir(M) — либо цикл (Alr(M) = 0), либо цепь, граница которой лежит в N (Alr(M) є Lr-i(N)), то видно, что образом сг является либо нуль, либо смежный класс, порожденный гомологичным нулю циклом Ur^1(N) є Lr-i(N). Заметим, что хотя цикл b'r_x(N) лежит в N, он может быть гомологичен нулю не обязательно в N, а во всем многообразии М. Иными словами b'r_1(N) может быть границей цепи Ir(M), не принадлежащей Lr(N)13.
Если этот цикл гомологичен нулю в N, т. е. b'r_1(N) є Br^1(N), то он попадает в нуль группы HT-i(N). Из этого следует, что образом с2 является совокупность ЦИКЛОВ Ьг-1 (JV) ИЗ Cr-l(N), гомологичных нулю в М, но не обязательно в N. Циклы в N, гомологичные нулю во всем многообразии М, мы будем называть связывающими. В соответствии с изложенным, граничный гомоморфизм (2.6.12) устанавливается соответствием:
где Ir(M) — либо цикл, либо цепь с границей в N. Таким образом, утверждение (2.6.12) доказано.
Совокупность элементов группы гомологий Hr-i(M), порождаемых связывающими циклами Vr^1(N), мы будем называть подгруппой гомологий связывающих циклов и обозначать через H^1(N). Соответствие (2.6.12) означает, что
Из изложенного, в частности из соответствия (2.6.13), следует,
13Пример цикла в N, гомологичного нулю в M1 будет показан ниже на рис. 32. В этом примере N есть пересечение двух многообразий Mi и М2, a M — их объединение (М = Mi U М2).
Cr = Vr(M) + L2(N),
cr + Br(М, N) ^ V^1(N) + Br^1(N)-, с,- = Ir(M) + Lr(N), Vt^1(N) Л ЦМ),
(2.6.13)
Im Д» = H^1(N).
(2.6.14)
68 Глава Z
что Ker Д, составляют относительные циклы сг, порожденные цепями сг(М) + Ir(N), где сг(М) — обычный цикл (Acr — 0):
Ker Д. = [Cr(M) + Br(M, N)};
ВТ(М, N) = {lr е Lr(M)/lr = Д/г+1 + Lr(N)).
Переходя к точным гомологическим последовательностям, заметим, что алгоритма, автоматически дающего все возможные точки последовательности групп гомологий, не существует, и отыскание таких последовательностей требует определенного искусства. Тем не менее, известен ряд точных последовательностей, полезных для вычисления гомологических групп. К ним относятся последовательности Майера-Вьеториса. Они могут быть использованы для вычисления групп гомологий Hr(M) многообразия
M — Mi U Л/*2
по группам гомологий Hr(Mi), Hr(Mi) и Hr(MiUM2) (Mi и M2 могут пересекаться). Исходным пунктом является точная последовательность цепей
О —Lr(M1 П M2) —Lr(Mi) © Lr(M2) —Lr(Mi U M2) —^ 0,
(2.6.16)
порождаемая включениями. Чтобы пояснить соответствие (2.6.13), для простоты примем такое клеточное разбиение M и Mi, чтобы любая цепь на M была равна сумме цепей на Mi \ (Мі П M2), M2 \ (Mi П M2) и (Мі П M2).
Иначе говоря, мы полагаем, что единое клеточное разбиение M дает одновременно клеточное разбиение трех указанных многообразий. Рис. 30 поясняет сказанное.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что элементы группы Lr(Mi)QLr(M2) представляют собой пары цепей из Lr(Mi) и Lr(M2):
Zr(l,2) = Or(I), Zr(2)}.
Операция сложения цепей в этой группе определена так, что
Zr(l,2) + z;(l,2) - (Zr(I) + Z'(l), Zr(2) + z;(2)},
Теория гомологий
69
поэтому складывать цепи Z7.(1) и Zr(2) в данном случае нельзя (цепь !,.(1,2)) является как бы вектором с компонентами Zr(I) и 1Г(2). В отличие от этого, в группе Lr(Mi U M2) цепи Zr(I) и Zr(2) можно складывать в обычном смысле, так что наряду с каждой из этих цепей, элементами группы является и цепь Zr(I) 4- 1Г(2).
Включения гиг определены следующим образом:
IriM1 П M2) -A {Zr(Mx П M2), I^M1 П M2)] (2.6.17)
(Zr(l), Zr(2)} -Ц. Iri 1) - їг(2). (2.6.18)
Легко убедиться, что последовательность (2.6.16) точна. Точность первой короткой последовательности ясна, так как непосредственно из включения (2.6.17) следует
Im і = Lr(Mi П M2),
что, согласно изоморфизму (2.6.4), означает точность короткой последовательности, начинающейся с нуля. Докажем точность второй короткой последовательности. Из соответствия (2.6.18) следует, что Ker г’ есть подгруппа цепей (Zr(MiHM2), Zr(MiflM2)I, причем согласно включению (2.6.17) она составляет Imі. Таким образом, Imi = Kerг, и этим устанавливается точность второй короткой последовательности. Для установления точности короткой последовательности, оканчивающейся нулем, надо показать, что
Imг = LriM1 U M2),
Для этого надо убедиться, что любой элемент из Lr (Mi U M2) может быть представлен в виде Zr(I) — Zr(2) и потому является образом по меньшей мере одного из элементов (Zr(l), Zr(2)} Є Lr(Mi) © Lr(M2). Очевидно, что любая цепь на M1 U M2 однозначно представима в виде:
