Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
36, Динамическое подобие, В этом пункте мы будем считать, что читатель знаком с обычной инженерной трактовкой понятия динамического подобия, и постараемся четко изложить математические принципы, лежащие в основе рассматриваемого вопроса. Заметим, что понятие динамического подобия принадлежит Стоксу. В его работе о движении маятника в тормозящей жидкой среде2) не только впервые было сформулировано понятие динамического подобия, но и в первый раз фигурировала комбинация параметров течения, носящая сейчас название числа Рейнольдса.
Два течения идеальной жидкости называются динами-
чески подобными, если переменные этих течений связаны
соотношениями
v = U\f, р = /?р', р = Рр' (36.1)
и
х = Dx', t = Tt', (36.2)
*) Интересные соображения общего характера по поводу теории сжимаемой идеальной жидкости можно найти в первой главе работы [39], см. также [21], [23], [24] и [26].
2) S t о k е s G., Trans. Cambridge Phil. Soc., 9, 8 (1850); Papers 3, стр. 1—141.
36. Динамическое подобие
105
где U, R, Р, D и Т—постоянные подобия1). Покажем сейчас, что эти постоянные связаны некоторым соотношением, иначе говоря, что определенные комбинации постоянных подобия должны иметь одно и то же значение для всех подобных между собой течений2). Подставив соотношения
(36.1) и (36.2) в уравнение неразрывности, мы найдем, что
Так как течение, параметры которого помечены штрихами, также удовлетворяет уравнению неразрывности, отсюда следует, что
T—~JJ (36.3)
(исключением является случай установившегося течения, однако в этом случае вторая формула (36.2) теряет смысл). Оставшиеся уравнения движения при помощи соотношения (36.3) можно представить в виде
Из первого из этих уравнений следует соотношение
Если записать теперь уравнение состояния „штрихованного" течения в виде р' = g (р/, S'), то
Взяв материальную производную от обеих частей равенства (36.5) и воспользовавшись тем, что dS/dt = dS'/dt' = 0, мы после сокращения на общий множитель получим
!) При обычном инженерном изложении понятия о динамическом подобии оба течения сводятся к одному и тому же „безразмерному" течению. Сформулированное здесь определение нам кажется более ясным и четким.
2) Этот результат означает, что одного геометрического подобия двух областей течений недостаточно для динамического подобия этих течений.
/(tfp'. S) = Pg(p', S').
(36.5)
Rc*= Рс'2.
(36.6)
10в
Гл. 5. Идеальный газ
В качестве следствия равенств (36.4) и (36.6) можно сформулировать следующее утверждение: если два течения
являются динамически подобными, то местное число Маха1) М = q/c этих течений принимает равные значения в соответствующих точках областей течений.
Полученное выше условие не является единственным следствием динамического подобия. Легко убедиться, что соотношение (36.5) между 5 и S' не должно зависеть от величины р' (в противном случае оба течения представляли бы собой движения несжимаемой жидкости). Например, в случае совершенного газа соотношение '(36.5) сводится к соотношению
5 — 5' = cv \ogPR~1*
которое служит для определения энтропии „штрихованного" течения.
В приложениях (например, при экспериментах в аэродинамической трубе) добиваются того, чтобы области течений были геометрически подобны и приведенные скорости v/с и у'/с' были согласованы в одной точке Р. При этих обстоятельствах динамически подобные течения являются теоретически возможными, если соотношение (36.5) выполняется. Возникает вопрос, будут ли такие течения реализованы в действительности. Ясно, что мы можем быть в этом уверены только тогда, когда течение единственным образом определяется условием, заданным в точке Р. Как будет показано ниже, теорема единственности справедлива по крайней мере в случае дозвукового обтекания препятствия при заданном состоянии потока на бесконечности (см. п. 46). Однако в действительности при экспериментах в аэродинамической трубе ситуация сильно усложняется действием различного рода посторонних факторов, так что вопрос о динамическом подобии следует решать — по крайней мере частично — исходя из опытных данных.
Выше было показано, что если уравнение состояния совершенного газа выполняется, то возможны различные динамически подобные течения. Оказывается, что справедливо и
*) Краткое изложение работы Маха и связанное с ней выяснения приоритета введения характеристики течения qjc можно найти в статье Блека [Black J., J. Roy. Aero. Soc.t 54, 371 (1950)].
36. Динамическое подобие
107
обратное утверждение: если возможны динамически подобные течения двух газов при произвольных постоянных подобия Р и R, то уравнение состояния каждого из этих газов имеет вид
p = a(S)pm (36.7)
с одной и той же постоянной т!). Этот результат показывает, какие сильные ограничения нужно наложить на уравнение состояния для того, чтобы газ обладал полезными свойствами динамического подобия. Очень удачно, что обычные газы с большей или меньшей точностью удовлетворяют уравнению (36.7).
Для доказательства сформулированного утверждения рассмотрим траекторию некоторой частицы жидкости (мы считаем для простоты, что постоянная подобия D=l). Вдоль этой траектории величины 5 и S' постоянны. Так как течение, параметры которого не помечены штрихами, считается заданным заранее, то величина 5 есть фиксированное число; в формулах, выписанных ниже, мы это число для краткости опускаем. Величина S' является функцией параметров Р и R. Обратив это соотношение, мы получим
