Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
независимых компонент тензора кривизны Rx,"p и его ковариантных
производных ДдЯдД. БРСТ-преобразования БРСТ-тензорных полей имеют вид
уТ, = ^DvTft + (dp? + {Д }От" =
т. е. это общие ковариантные преобразования Тл, параметрами которых
являются духовые поля о
Глава 5
Топологические теории поля
Топологическая теория поля обычно характеризуется:
• набором полей на риманопом многообразии X, градуированных по
грассмановой
четности и духовому числу;
• нечетным нильпотентным БРСТ-оператором Q;
• физическими состояниями, определяемыми Q-когомологическими классами;
• Q-точным метрическим тензором энергии-импульса
(см. в качестве обзора работу 137J и цитируемую в ней литературу).
Топологические теории поля подразделяются на теории типа Уиттена и типа
Шварца. Примером первых служит теория Доналдсона, тогда как вторые
включают модели, функционал действия которых не зависит от метрики на X,
например, теорию Чженя-Саймонса.
Здесь мы сосредоточим внимание на том примечательном факте, что выражение
для кривизны связности на пространстве калибровочных полей в точности
совпадает с БРСТ-прсобразованисм в геометрическом секторе вышеупомянутой
теории Доналдсона. Как следствие инварианты Доналдсона играют роль
наблюдаемых в топологической теории поля.
§ 1. Пространство калибровочных полей
Как уже отмечалось (см. первый том (I I], §2.2), связности на главном
расслоении Р -* X со структурной группой С, т.е. калибровочные
потенциалы, представляются сечениями аффинного расслоения С -" X (4.56).
Они образуют аффинное пространство А, моделируемое над векторным
пространством сечений векторного расслоения
и называемое пространством калибровочных полей. Калибровочные потенциалы
считаются физически эквивалентными, если они переводятся друг в друга
вертикальными автоморфизмами главного расслоения Р. Поэтому
конфигурационным пространством квантовой калибровочной теории является
фактор-пространство A/Q, где Q = Gan (Р) - уже упоминавшаяся выше
калибровочная группа (см. первый том |П|, §2.2). Чтобы наделить
конфигурационное пространство гладкой структурой, рассмотрим его
пополнение Соболева.
Приведем коротко основные сведения о пространствах Соболева 117, 114,
122J. Рассмотрим на области U С R" векторное пространство Lr(U), I < р <
оо, всех интегрируемых вещественных функций на U таких, что
С = Т'Х (r) VGP
(5.1)
v
Это банахово пространство относительно нормы
V
§ 1. Пространство калибровочных полей
103
(см. выражение (А.5) в третьем томе |13|). Ясно, что функции
отождествляются, если равны друг другу почти всюду на U. Пространства
Соболева определяются на произвольной области U С М'" и являются
векторными подпространствами пространств LV(U). Мы будем использовать
стандартное обозначение
на вещественных функциях / на С/, для которых правая сторона выражения
(5.2) имеет смысл. Функционал (5.2) является нормой на любом векторном
подпространстве таких функций.
Оирьдыьнит 5.I.I. Пространство Соболева ?ik'v(U) определяется как
пополнение множества
относительно нормы (5.2). ?
Под пространством Соболева понимается также другое пространство Wk,p(U),
которое, как можно показать, изоморфно 7ik'p(U) (см. детальное изложение
в работе [ 17)). Существенно, что множество гладких функций
множества гладких функций с компактным носителем в Hk'p(U).
Понятие пространства Соболева может быть расширено на комплексные функции
и произвольное вещественное число к. Такое пространство Соболева Hkp(U),
к ? R, состоит из тех комплексных функций и распределений Шварца / (см.
третий том 113|, Приложение Б), для которых норма
где / - преобразование Фурье функции /, является конечной. Если к
является целым неотрицательным числом, это определение эквивалентно
первоначальному Определения^.1.1, обобщенному на комплексные функции
[122|. Мы ограничимся случаем р - 2 и обозначим
Это гильбертово пространство. В частности, можно показать, что
пространство Н *, к > 0, дуально Нк и его элементами являются обобщенные
функции. Действительно, пусть V - пространство гладких комплексных
функций с компактным носителем на М". Оно наделено топологией,
определяемой семейством преднорм
(5.2)
{feCk(U): 11/11*,,, < ос}
(5.3)
Нк'2(Шп) = Пк.
104
Глава 5. Топологические теории поля
где Ш - набор гладких функций такой, что на любом компактном подмножестве
К С К" только конечное число этих функций отлично от нуля (см. третий том
[13], Приложение Б). Пространство V известно как пространство пробных
функций. Его топологическим сопряженным V1 является пространство уже
упоминавшихся распределений Шварца. Пусть S - ядерное пространство Шварца
гладких функций, быстро убывающих на бесконечности (см. третий том [13|,
Приложение Б). Его топологическим сопряженным S' является пространство
распределений умеренного роста (или обобщенных функций). Имеет место
цепочка вложений
V CS С ...Пк С ...n° = L°( I") СИ'1 С . ¦ • Н~к С ...s' С V'.
Можно определить пространство Соболева функций на произвольном
