Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
квантовании методом функционального интегрирования.
Пусть S - приемлемое решение основного уравнения (4.74). БРСТ-оператор
определяется как
s/ = (/,5)ab, fee". (4.77)
Тогда, исходя из свойств антискобок, получаем что:
• s - нильпотентный оператор (s2 = 0);
• он является антидифференцированием
s (//') = /s/' + (- i),r '(*/)/';
• gh(s/) = gh(/)+I.
§4. БРСТ-связность
97
Пример 4.3.4. Рассмотрим калибровочную модель Янга-Миллса на расслоении
связностей С (4.56) с координатами (хА, а(tm)). Она приводима. Поэтому ее
классический базис включает калибровочные потенциалы и духовые поля Ф4 =
(а"', Ст) вместе с антиполями Фд = (ат,Сш). Приемлемым решением основного
уравнения является
5 = Lm + аА*(СЛг + crvqa\C4) + ^С^СГС9,
где Lym - лагранжиан Янга-Миллса (см. выражение (2.21) в первом томе
[11]). Соответствующий БРСТ-оператор на А\ и Ср имеет вид
я ад = С[ + crpqapC4, я Ср=- X-<?rqCTC\ (4.78)
s aA* = 6i(LyM) + ах;срчС\ s С* = - c?ra'aA* + <?rqC'vC\
где 0a(Lym) - вариационная производная лагранжиана Янга-Миллса Lym- d
Замечание 4.3.5. Отметим, что БРСТ-оператор иногда определяется как
s/ = (-l)m(/,S) АВ. (4.79)
В отличие от s (4.77) он является дифференцированием
*(//') = (s/)/' + (-l)m/s/'.
?
§4. БРСТ-связность
Чтобы сделать выражение (4.77) для БРСТ-оператора s замкнутым, необходимо
определить действие этого оператора на струи элементов классического
базиса. Определение s предполагает, что s (хА) = 0. Поэтому положим
*Сл = <*л(*Св).
Тогда БРСТ-оператор $ может быть расширен на подалгебру локальных форм
G0'* так, что
s d/i - ~<1н s,
т. е.
s( ~фх\ х, dxx' Л ... Л dxAr) = - (-l)r(s ф\ х,)dxA| Л ... л dxA\
(4.80)
\г! /г!
В частности, посредством оператора s (4.80) формула (4.78) переписывается
в виде
sa = -dHC - [a, С|, s С =-'-[С,С\, (4.81)
где а = arxdxx (r) ег.
Операторы s и dH определяют бикомплекс на алгебре локальных форм, который
градуирован по степеням локальных форм и духовому числу так, что
ф Л ф1 = (_ l)MM+WIФ'\ф> Л фу ф' е ?".* (4.82)
Следуя стандартной процедуре [8], из этого бикомплекса можно получить
комплекс, характеризуемый коцепным оператором
s = s + d". (4.83)
98
Глава 4. Связности в БРСТ-формализме
Он градуирован по полному духовому числу. Оператор (4.83) нильпотентен
(s2 = 0) и увеличивает полное духовое число на 1, т.е.
gh T(s ф) = gh г(ф) + 1.
Он называется псиным НРСТ-oneритором
Рассмотрим когомологии полного БРС'Г-оператора (4.83). В случае
калибровочной модели Янга-Миллса это гак называемые локальные когомологии
139, 1111, описываемые в терминах струй |28, 42j.
Пусть ф" € 011п - локальная плотность, т.е. лагранжиан. Он называется
локально БРСТ-замкнутым, если sфп - df/-точная форма, т.е. удовлетворяет
равенству
s ф" + йИфп- | = 0, (4.84)
где фп-1 € да-п-\ _ локапьная (п _ |)-форма. Ясно, что локальная форма фп
является локально БРСТ-замкнутой, если функционал действия
J Ф"
ВРСТ-инвариантен с точностью до поверхностных интегралов. Говорят, что
локальная плотность фп локально БРСТ-точна, если
Фп - S(7n df,<Jn-\.
Множество H(s\dH) классов эквивалентности локально БРСТ-замкнутых
локальных плотностей по модулю локально БРСТ-точных точных локальных
плотностей называется локальными БРСТ-когомо.югиями [28, 29, 42, 87|.
Установим тепсрьсвязь между локальными БРСТ-когомологиями и когомологиями
полного БРСТ-оператора ?. Применяя оператор s к равенству (4.84),
получаем
dri(^n-\) = 0.
Следовательно является dH -замкнутой локальной формой, а значит
dH -точной
в соответствии с Теоремой 4.3.1. Поэтому существует (возможно нулевая)
локальная (п - 2)-форма фп-2, удовлетворяющая уравнению
s Фп-1 + ЛнФп-2 - 0-
По индукции можно сделать заключение о существовании семейства локальных
форм (/>*;, к - ко,... , п. подчиняющихся соотношениям
d^n = 0, (4.85а)
S фк + <1цфк-1 =0, п^к> ко, (4.856)
s Фк" - 0 (4.85в)
для некоторого ко. Эти уравнения называются уравнениями спуска [42J. Если
ко = 0, уравнение (4.85в) принимает общий вид ьфо =const. Уравнения
спуска (4.85а)-(4.85в) могут быть переписаны в компактной форме
"
Жф = (1, ф-'^фк- (4.86)
к -=*.¦"
Отсюда следует, что любое решение уравнения (4.84) соответствует
^-замкнутой форме,
и обратно. В частности, решение ф" уравнения (4.84) является
локально БРСТ-точным
тогда и только тогда, когда
ф = sar + const,
§4. БРСТ-связность
99
т. е. всякая локально БРСТ-точная локальная форма соответствует s-точной
локальной форме по модулю постоянных функций. Таким образом, справедливо
следующее утверждение.
Творима 4.4.1. Локальные БРСТ-когомологии локальных плотностей фп с
данным полным духовым числом
gh т(ф) = gh (</>) + п
изоморфны s-когомологиям локальных форм ф, обладающих тем же полным
духовым
ЧИСЛОМ gh7'(0). ?
Поскольку приемлемое решение S основного уравнения раскладывается в ряд
по степеням антиполей, БРСТ-оператор может быть разложен в сумму
?
к> I
где <5, 7 и sk - операторы с антидуховыми числами -1, 0 и к
соответственно. Так как горизонтальный дифференциал dH имеет нулевое
