Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
точку на плоскости изображения. Кроме того, будем рассматривать этот
вопрос в предположении, что плоскость объекта и плоскость изображения
совпадают (при расчете разделение этих плоскостей в явном виде не
проявляется). Следовательно, вектор М-М' будет представлен вектором,
соединяющим точку М' в геометрическом изображении с точкой М. (Точка М
обозначает вектор F,M или F2M, а Р - вектор ОР.)
Каждая точка М объекта образует дифракционную картину с центром на
геометрическом изображении точки /И (которое мы теперь также обозначим
М).
Так как дифракционные изображения не имеют определенных фазовых
соотношений, то в плоскости изображения интенсивности складываются.
Если функция О(М) представляет собой распределение интенсивности в
плоскости объекта, то интенсивность изображения в точке М' определяется
выражением
I(M')=* jj 0{M)D(M' - M)dM, (14)
объект
где D(M' - М) = \А(М' - М) |2 есть распределение интенсивности в
дифракционном пятне, полученное с этим зрачком. Если
I(M)F-^i(P),
0(М)^*о(Р), (15)
D(M)^d(P),
то теорема Парсеваля позволяет осуществить преобразование свертки (14) в
произведение
i{P) = o(P).d{P). (16)
164 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 35
Мы вернемся в тексте к специальному случаю, когда зрачок представляет
собой тонкую щель, параллельную Оу, и дает дифракционную картину только
вдоль плоскостей, параллельных |F2?. Единственными переменными, с
которыми нам придется иметь дело, являются х, и и и'.
Таким образом,
I (u')-^o(u)D (и' - и) du (17)
и
i (х) = о(х) • d (х). (18)
Теперь последовательно определим функции о(х), d(x) и затем i(x).
а) Вычисление функции о(х). Распределение интенсивности в плоскости
объекта имеет вид
-f-oo
О (и)- 2 6 (и - пи0). (19)
fl=s-00
Это "ряд Дирака" с периодом и0.
Преобразование Фурье для "ряда Дирака" с периодом "о есть "ряд Дирака" с
периодом 1 /и0. Имеем
4-оо
о(х)= ? (20)
П-~ оо
Р) Вычисление d(x). Мы считаем, что
D(u) = A(u)A*(u). Д1)
Однако здесь А(и)-реальная функция и
D (и) = [А {и)]2. (22)
Теорема взаимности Парсеваля позволяет написать
4-00
d(x)= J f(X)f(x - X)dX, (23)
- оо
где d(x)-автокорреляционная функция пропускательной способности зрачка
(для амплитуды).
Так как f(X)-"прямоугольная" функция, то свертка равна общей площади двух
прямоугольников, смещенных на X (см. приложение А, В, III).
Возможно несколько случаев в зависимости значения "о.
- > а
"о
(фиг. 35.11, а).
ЗАДАЧА 35
ДИФРАКЦИЯ
165
Имеем i(x) - o(x)d(x) = 8(х). Только основная частота проходит через
щель.
№
О
5
-и'
Фиг. 35.11
Находим
/ ("'') = F. Т. [б (jc)], так что - \ (фиг. 35.11, б). (24)
Плоскость изображения равномерно освещена.
- < а
иа
(фиг. 35.12, а).
В дополнение к основной частоте проходит и определенное количество других
пространственных частот. Они всегда ослаб-
Н2С
7
1-2С
№
-W
Фиг. 35.12
лены функцией d(x). Чтобы убедиться в справедливости этих представлений,
рассмотрим пример, представленный на фиг. 35.12. Находим
где
/ (л ) = 6 (.х) + С [б (* + + б (* - i )],
С = 1
125)
1
аи0
Отсюда получаем
1 (и') = 1 + С + e~i2nu'i%
I(u') = l + 2C cos 2я - .
(26)
166 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 35
Так как 1 /ы0 меньше чем а, то изображение имеет периодическую структуру
(фиг. 35.12,6).
Таким образом, решетка разрешает для значений
- < а, т. е. для d > К
и0 а
Примечание. Видно, что для значений и0, больших чем 1/а, изображение не
всегда соответствует объекту. Действительно, даже если все
пространственные частоты проходят, то их амплитуды модулируются функцией
d(x). Только основная частота не подвергается воздействию.
б) Когерентное освещение объекта. Здесь необходимо учесть фазовые
соотношения, которые существуют между различными амплитудами света,
проходящего от точек на объекте до плоскости изображения. Для этого нужно
оценить интеграл
Е (МО = ^ Q (Af) A (AT - М) dM, (27)
где Е(М') - результирующая амплитуда в точке М'.
Пр им ем
( Q(M) - распределение амплитуд в плоскости объекта;
\ А (М) - распределение амплитуд в дифракционном пятне.
Если
Q(M)1-^со (Р),
A(M)^f(P), (28)
Е(М)^е(Р),
то теорема Парсеваля приводит к
e(P)=CD(P).f(P). (29)
Задача всегда одномерна, и, таким образом, имеем свертку
Е (и') = J Q (и) Л (п - и) du (30)
и произведение
е{х) = а (х) • f {х). (31)
Возьмем произведение функций со (л;) и f(x) и обозначим его
через е(х) (фиг. 35.13, а).
ЗАДАЧА 35
ДИФРАКЦИЯ
167
Получаем следующие результаты:
При 1/"о > й/2 проходит только основная частота. Е(и')= 1. Амплитуда
постоянна в плоскости изображения.
При 1/н0<а/2 проходят основная частота и некоторые гармоники.
е(х)
¦ и'
Ни1)
и о/2 и0
JL
и0
М Ж
Фиг. 35.13
В примере, представленном на фиг. 35.13, а, имеем е (*) = б (де) + 6 (х -
-1-) + б (х + -^) .
Следовательно,
? (,/) = 1 -f emu'iuо _|_ = 1 -f 2 cos 2я
U
и0
(32)
(33)
Кривые на фиг. 35.13, а и 35.13,6 характеризуют значения амплитуды и
соответствующей интенсивности.
Изображение имеет тот же период, что и объект, но между главными
