Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
снег", соответственно. Тогда "А" и "В" - события взаимоисключающие, и
правило (2) гласит, что их вероятности складываются: 90-процентная
вероятность дождя и 5-процентная вероятность снега без дождя дают 95-
процентную вероятность дождя или снега. Подобное рассуждение интуитивно
кажется удовлетворительным.
Говорят, что два события являются независимыми, если они "никак не
связаны" друг с другом, т. е. если факт реализации одного из событий, в
среднем, не оказывает никакого влияния на реализацию другого. Допустим,
что события "А" и "В" - это "сегодня днем пойдет дождь" и "бутерброд,
который я роняю, упадет маслом вниз", соответственно. Я считаю, что два
этих события никак не связаны друг с другом, что они не имеют друг к
другу никакого отношения, что они независимы. Применяя правило (3),
находим, что вероятности этих событий следует умножать: вероятность
дождя, равная 0,9, умноженная на вероятность размазывания масла по полу,
равная 0,5, дает вероятность реализации обоих событий, равную 0,45.
Интуитивно это тоже кажется удовлетворительным: существует 90-процентная
вероятность дождя и 50-процентная вероятность падения бутерброда маслом
вниз, что
Вероятности
23
дает 45-процентную вероятность того, что на улице будет дождь, а масло
окажется на полу2.
Таким образом, мы проверили правила (2) и (3) и убедились в том, что
интуитивно они кажутся разумными. Что касается правила (1), то оно просто
утверждает, что если вероятность дождя равна 90 процентам, то вероятность
его отсутствия равна 10 процентам, с чем трудно спорить.
Совершенно ясно, что среди понятий, которые мы только что обсуждали,
самым тонким является концепция независимости. Опыт и здравый смысл
говорят о том, что некоторые события происходят независимо друг от друга,
однако время от времени случаются сюрпризы. А потому следует проверить,
что вероятности предположительно независимых событий ведут себя так, как
утверждается в правиле (3). Кроме того, не менее уважительно нужно
относиться и к операторным определениям. Так, при игре в кости кости
нужно хорошенько трясти между бросками. Только в таком случае броски
можно будет считать независимыми.
Отлично. Теперь мы знаем, как обращаться с вероятностями, но нам до сих
пор неизвестно, чему они соответствуют в операторном смысле! Приведем
пример операторного определения вероятности "А": осуществите большое
число независимых экспериментов при условиях таких, чтобы "А" могло
произойти, а затем понаблюдайте, в какой доле случаев "А" действительно
происходит; эта доля и является вероятностью "А". (Для математика
"большое число" экспериментов означает число, стремящееся к
бесконечности.) Например, если вы подбросите монетку большое число раз,
то примерно в половине случаев выпадет орел, что соответствует
вероятности 0,5.
Теперь, когда у нас есть прекрасное операторное определение, мы можем
спросить, что подразумевается под вероятностью события "сегодня днем
пойдет дождь". В самом деле, кажется сложным повторить "сегодняшний день"
независимо большое число раз. Поэтому некоторые пуристы скажут, что
рассматриваемая вероятность не имеет смысла. Однако ей можно придать
смысл, например, осуществив большое количество численных имитаций на
компьютере (совместимом с нашим настоящим знанием метеорологической
ситуации) и определив долю случаев, когда имитация покажет дождь. Если
вероятность дождя получится таким образом равной 90 процентам, то даже
пуристы, выходя из дома, возьмут с собой зонты.
Глава 4
ЛОТЕРЕИ И ГОРОСКОПЫ
В прошлой главе я ввел вероятности с основными математическими правилами,
операторными определениями и т.п., и вы можете задаться вопросом,
действительно ли нужны все эти предосторожности. Как-никак, все, что я
сказал, можно выразить несколькими словами: вероятности взаимоисключающих
событий складываются (чтобы определить вероятность события или),
вероятности независимых событий перемножаются (чтобы определить
вероятность события и), и доля тех случаев, когда событие происходит (при
большом числе независимых попыток) составляет вероятность этого события.
Если немного подумать, то все это становится достаточно ясным, так что
данная тема не должна стать предметом каких бы то ни было разногласий.
Однако когда видишь, каким успехом пользуются лотереи и гороскопы (помимо
всего прочего), то понимаешь, насколько поведение большинства людей
отличается, в отношении вероятностей, от того, что должно было бы
подсказывать здравое научное мышление.
Лотереи - это свободно принятая форма налогообложения менее
привилегированных слоев общества. Лотерейный билет, который вы покупаете,
быть может, за совсем небольшую цену, - это маленькая надежда
разбогатеть. Но вероятность сорвать джек-пот очень мала: это один из
типов низкой вероятности (вроде того, что, когда вы идете по улице, на
вас упадет кирпич), которым при обычных условиях вы бы пренебрегли. На
самом деле, выигрыши, большие или маленькие, в среднем, не компенсируют
