Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
феноменологического подхода, предложенного Мандельштамом и Леонтовичем
(см., например, [1J).
Рассмотрим среду, в которой распространение звуковых волн нарушает
состояние термодинамического равновесия. В силу второго начала
термодинамики среда стремится вернуться к равновесному состоянию при но-
§ 1. СРЕДА С РЕЛАКСАЦИЕЙ
85
вых, измененных волной значениях параметров. Если характерное время т
релаксации к равновесному состоянию много меньше, чем период осцилляций
Т, среда успевает полностью "приспособиться" к изменениям, вносимым
волной, и распространение звука в этом предельном случае происходит так
же, как и в среде без релаксации - со скоростью с0. Если же т Т,
релаксационные процессы "заморожены" и звук распространяется со скоростью
сх, причем Со, )> с0.
В качестве релаксационных процессов, вносящих запаздывание, могут
выступать химические реакции, диссоциация, фазовые переходы, обмен
энергией между различными степенями свободы молекул и т. д. При
феноменологическом подходе можно отвлечься от конкретной природы
внутренних процессов. Будем считать, что в среде имеется один механизм
релаксации (обобщение на случай нескольких механизмов не представляет
труда), наличие которого может быть учтено введением "внутренней
координаты" Если в обычных средах р - р (р, s), то теперь необходимо
писать
Р ^ Р (Р, s, I). (IV.1.11)
Закон приближения ? к равновесному значению при начальном условии ? (t =
0) = ? (0) примем в простейшей экспоненциальной форме
I = U + [?(0) - ?0]e-f/T. (IV-1.12)
Нетрудно видеть, что это выражение является решением дифференциального
уравнения
§ = (IV.1.13)
которое называют уравнением реакции. Ограничиваясь рассмотрением
небольших отклонений от состояния равновесия, будем считать величины
2L, Л, (IV. 1.14)
Со Ро ?о * v '
Ограничимся также рассмотрением таких сред, в которых величина m = (с^ -
Со)/со является малой. Точное
86 гл. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
уравнение состояния (IV. 1.11) удобно представить в виде разложения по
степеням р', | - g0, s - % Пренебрегая при этом малыми членами ~ и3 и
выше, в том числе и членами, обусловленными приращением энтропии, получим
Здесь необходимо учесть, что само равновесное состояние является функцией
плотности: |0 = ?0 (р), поэтому
?оо - это невозмущенное волной значение внутреннего параметра |. По
смыслу ясно, что (др/дрД00 = cL, а (dpld р)^ = с;;. Дифференцируя (IV.
1.15) по времени, придем к соотношению
Если теперь в формуле (IV.1.15) заменить выражение (S - So) на -xd\ldt (с
помощью уравнения реакции) и исключить из полученного соотношения и
(IV.1.17) член, содержащий производную d\!dt, можно получить следующую
взаимосвязь давления и плотности в релакси-рующей среде во втором
приближении:
Это выражение удобно представить в интегральной форме
(IV.1.15)
dp'
dt
(IV.1.18)
----ОО
или, преобразуя интеграл по частям, в виде [64]
§ 1. СРЕДА С РЕЛАКСАЦИЕЙ
87
Таким образом, сравнивая полученный результат с функционалами (IV. 1.7),
(IV.1.8), можно (установить явный вид выражений для х, %:
Прежде чем переходить к рассмотрению нелинейных задач, покажем, как
релаксационные процессы влияют на распространение волны в линейном
приближении. Воспользуемся линейными уравнениями гидродинамики (В.1.9),
(В.1.10) и уравнением состояния (IV.1.19), в котором отбросим нелинейный
член. Исключая переменные v и р, получим волновое уравнение дляр':
Если умнояшть (IV.1.22) на т и продифференцировать по t, а затем сложить
результат с (IV. 1.22), придем к уравнению в дифференциальной форме |
Для получения дисперсионного уравнения ищем решение в виде р' =
poe'(cot_to). Подстановка этого выражения в любое из уравнений (IV.1.22),
(IV. 1.23) дает
Воспользовавшись тем фактом, что константа т является малой величиной,
преобразуем это выражение к виду
Результат (IV.1.25) показывает, что релаксационные процессы в среде
приводят к появлению дисперсии скорости
_ с*Др' _ mctb U е-т dt' = 0. (IV.1.22)
- ОО
(IV.1.23)
(IV. 1.24)
к =
т (02Т2
. (IV. 1.25)
2 1 -|- со2т2
2 1 р со2Т2
88 ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
звука и связанному с ней поглощению:
\ | ОКТ- j Jtl 0>2Т2 /ТЛ7 Л ОС?\
e = c0[i + - " = (IV.1.26)
Кривые для фазовой скорости с (сот) и коэффициента
Рис. IV. 1. Коэффициент затухания и фазовая скорость в среде с
релаксацией.
затухания а (от) изобраяшны на рис. IV.1 в соответствии с выражениями
(IV. 1.26).
§ 2. Слабая и сильная дисперсия
В нелинейной акустике обычно имеют дело со слабой дисперсией, т. е. с
такими средами, в которых искажение профиля начального возмущения за счет
различия фазовых скоростей у разных гармоник значительно слабее, чем
искажения из-за других причин: нелинейности, поглощения, дифракции и т.
д.
Покажем на примере простейшей задачи теории нелинейных волн - генерации
второй гармоники, - к каким физическим явлениям приводит наличие
дисперсии.
§ 2. СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ
89
Уравнение, описывающее поведение второй гармоники, аналогично (1.1.5):
