Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
решение
(III.4.2) - (III.4.3) - это единственное точное решение уравнения (III.
1.6), полученное аналитически.
К тому же это решение свободно от ограничений на величину числа
Рейнольдса за счет произвола в выборе константы с.
На рис. III.2 приведены три кривые, из которых кривая 1 соответствует
значениям числа Рейнольдса Re 1, кривая 2 - случаю Re ~ 1 и кривая 3 -
значениям Re <С 1. Зависимость решения от значения числа Рейнольдса
учтена неявно также и в выражении (III.4.5) с помощью параметра ti0 -
корня трансцендентного уравнения т] - сё~2п = 0. Подобно тому, как
формулы (III.4.2) и (III.4.3) при с = 0 давали решение линейного
уравнения, выражение (III.4.5) при значении параметра ц0 -"- 0 также
переходит в решение линейного уравнения.
Точное решение (III.4.2) и (III.4.3), равно как и приближенная формула
(III.4.5), в силу своей структуры
Рис. III.2. Автомодельное решение аналога уравнения Бюргерса для
цилиндрически-симметричных волн, отвечающее различным значениям числа
Рейнольдса.
76 ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
представляет особый интерес и при изучении распространения синусоидальных
возмущений в цилиндрически-симметричных системах.
В предыдущем параграфе'мы нашли приближенные ква-зистационарные решения,
на основе которых с учетом законов нелинейного искажения сконструируем
профиль сферической и цилиндрической волн по аналогии с плоскими волнами.
Для этого необходимо ударный фронт бесконечной крутизны в волне
пилообразной формы заменить узкой областью конечных размеров и
определенной структуры в соответствии с квазистационарпыми решениями.
Строго говоря, в цилиндрически-симметричной волне следовало бы область
фронта построить на основе решений (III.4.2) и (III.4.3) или хотя бы на
основе формулы (III.4.5). И то, что мы этого не будем делать,
продиктовано исключительно соображениями физической наглядности и
укоренившимся в литературе единым подходом, несомненно, весьма полезным с
методической точки зрения.
§ 5. Общая структура
пространственно-симметричных волн
с учетом нелинейности и диссипации
Возвращаясь к задаче о распространении первоначально гармонической волны
конечной амплитуды, заданной в точке г - г0 соотношением (III.2.1),
напомним, что в соответствии с решениями (III.2.2) и (III.2.3) при
достижении угловыми коэффициентами Z, и Z2 значений, равных единице, в
волне возникают разрывы. При значении тех же угловых коэффициентов,
равных л/2, профили волн становятся почти пилообразными и пиковые
значения приведенных переменных для сферической и цилиндрической волн,
как это можно установить из формул (III.2.2) и (III.2.3), изменяются в
соответствии с формулами
§ 5. ОБЩАЯ СТРУКТУРА
77
Если в следующей, второй области распространения волн выполняются условия
применимости квазистацио-нарных решений, то структура разрывов в
сферической и цилиндрической волнах пилообразного профиля может быть
описана с помощью квазистационарных решений
(111.3.2) и (III.3.3) с учетом того, что амплитуда разрывов изменяется в
соответствии с выражениями (II 1.5.1) и
(111.5.2).
Тогда в пределах одного периода"^ л сох л конфигурация сферически-
симметричной волны приближенно описывается соотношением
vr = T+z,fjj(77^| (~ сот + л th-f-) , (III.5.3)
где величина
6= 1 + Z0J'Re(r/r0)1'(-^-) (III.5.4)
есть безразмерная ширина фронта волны.
Совершенно аналогично для цилиндрической волны имеем
vVr = Ро ^го -(or + nlh-^-j , (III.5.5)
Г 1 -L 2201 1 - l/V/го | \ 6 / V '
где____________________________________________________________________ _
б = 1 + 2Z,. | 1 - Vг/г, | , /_r_ (III.5.6)
2л Re У го 4 '
Сопоставляя формулы (111.5,3) - (III.5.6) с формулами (II.3.21) и
(II.3.22), нетрудно установить, что в решениях (III.5.3) - (III.5.6)
сохранены все те особенности, которые были отмечены еще при выводе
приближенных уравнений, описывающих распространение пространственно-
симметричных волн. Подобно решениям(II.3.21),
(11.3.22) они передают динамику процесса формирования и рассасывания
ударных фронтов, определяют изменения амплитуды волны с учетом схождения
(расхождения) и нелинейного захлестывания. В этом, а также в единообразии
и компактности записи их несомненные достоинства. Вместе с тем, в отличие
от точных решений (II.3.21),
(11.3.22), решения (III.5.3) - (III.5.6) лишь приближенно удовлетворяют
уравнениям (III.1.5) и (III.1.6) и это
78 ГЛ. Ш. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
приближение в точности совпадает с условиями применимости
квазистационарных решений (III.3.6) и (III.3.5).
Разлагая в ряд Фурье решения (II 1.5.3) и (III.5.5), можпо получить
решения, аналогичные решениям Фея для плоских волн. Эти решения имеют вид
V
Не
Sin Л СОТ
n=l sh
для сферических волн и
1 + Zo | In (г/Га) I 2 Re
(-Н
vo
Re
оо
"=1sh
Sin 11 сот
1 + 2Zo I 1 - V Г Ira I
2 Re
(III.5.7)
(III.5.8)
для цилиндрических волн.
§ 6. Особенности распространения сходящихся и расходящихся волн
Проанализируем соотношения (III.5.4) и (III.5.6), определяющие ширину
