Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
уравнениями. В этой области (в отличие от случая <нт<^1) в
рассматриваемом приближении нет никаких сил, приводящих к расплыванию
сформировавшегося разрыва, и он сохраняется вплоть до очень больших
значений а'.
Наконец, исходя из условия существования разрывных решений Zoo >1, можно
определить критическое значение входной амплитуды vKp. При начальных
возмущениях г8 < гКр разрыв не может сформироваться пи на каких
расстояниях даже в пренебрежении диссипацией энергии.
Критическая величина амплитуды возмущения скорости на входе системы,
таким образом, определяется из значения Zoo = 1 и равна гщр = 2 гтс0/сот.
ГЛАВА V
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
§ 1. Коллинеарное взаимодействие плоских волн
Нарушение принципа суперпозиции возмущений в нелинейной акустике приводит
к тому, что исходные волны могут взаимодействовать друг с другом. Так,
например, если источник звука излучает в среду две волны с частотами <н1
и со2, то на некотором расстоянии от него в среде появятся, помимо
кратных гармоник волн со1; со2, еще и комбинационные частоты ntot + тщ
(где /г, т, - натуральные числа). В общем случае, при произвольных сй! и
со2, картина движения оказывается весьма сложной. Однако большинство
физически интересных задач может быть решено до конца.
Этот параграф посвящен рассмотрению процесса взаимодействия плоских волн,
бегущих строго в одном направлении. В гл. I, II уже говорилось об общих
методах решения такого рода задач. Поскольку уравнение Бюргерса (II.1.10)
описывает искажение начальных возмущений произвольной формы и может быть
решено точно в общем виде, никаких принципиальных трудностей при
рассмотрении волновых взаимодействий такого типа не существует.
Достаточно найти решение уравнения (II.1.10). при заданном условии на
границе, а затем произвести его гармонический анализ. Однако в силу
сложного вида получаемого решения реализация этой схемы часто бывает
сопряжена со значительными математическими трудностями. Поэтому
целесообразно получать физические результаты более простыми путями,
используя специфику каждой конкретной задачи.
Рассмотрим вначале процесс взаимодействия двух близких по частоте плоских
волн (со1 ж со2), т. е. проследим
102
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
за деформацией возмущения, заданного в точке х = 0 в виде
V - г01 COS COpt -f У02 COS со2т. (V.1.1)
При таком взаимодействии комбинационный тон, соответствующий разностной
частоте ?2 = 04 - а>2, в среде со стоксовыми вязкостью и
теплопроводностью затухает гораздо медленнее взаимодействующих волн (так
как й<4; со2, (Oj). Это может привести к тому, что на некотором
расстоянии от излучателя интенсивность комбинационного тона превысит
интенсивности исходных волн, т. е. произойдет смещение спектрального
максимума процесса в область низких частот. Совершенно аналогичное
явление должно иметь место и при распространении амплитудно-
модулированного сигнала:
v = v0 (1 -j- т sin йт) sin сот. (V.1.2)
Возникающая вследствие нелинейных эффектов волна частоты модуляции й,
слабо затухая, может постепенно превысить по интенсивности волну несущей
частоты.
Поскольку уравнение Бюргерса свободно от ограничений на величину числа
Рейнольдса, мы рассмотрим здесь два предельных случая: когда число
Рейнольдса много меньше или, напротив, много больше единицы [70].
Если Rs<< 1 (это физически означает, что интенсивность волн не
слишком велика), то, представляя скорость
v в виде ряда v ~ г/1' 4- г/2) 4- . . ., можно разбить урав-
нение Бюргерса на линейное уравнение первого приближения (В. 1.32) (для
переменной 41*) и уравнение второго приближения (II.2.1). Тогда решение
уравнения (В. 1.32), описывающее в первом приближении распространение
волны, излучаемой колеблющейся по закону (V.1.1) плоскостью, можно
записать в виде
¦ ( Ъы1х ''l , I ы\х ')
у(" = v01 ехр -- cos (охт 4- v02 ехр - cos щх.
\ 24ро ) V 2фо )
(V.1.3)
Подставляя выражение (V.1.3) в правую часть уравнения (II.2.1) и
удерживая в полученном выражении
§ 1. КОЛЛИИЕАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН
103
только интересующий нас член, содержащий разностную
ю.
частоту Q
dvW ь №
со,
получаем
дх
2с*Ро
дт2
eQroi2'n2
К
¦ ехр
Ь ((О2 + (О2) X 2^
sin Qt. (V.1.4)
Решение уравнения (V.1.4), состоящее из суммы частного решения и общего
решения однородного уравнения, может быть легко найдено (на границе х = 0
требуем р(2) = 0):
г;(2) =
ехр
Ь (ш2 + (О2)
2с"о"
ехр -
b PJ 2с*Ро
X
pcC!ieQroi!'(,2
Ъ (to2 -f со2 - Q2)
sin От. (V.1.5)
Как показывает выражение (V.1.5), амплитуда волны О вначале нарастает от
нуля (при х = 0), достигает максимума в точке
In
2cjj?o
Ь (со2
й2)
а затем убывает; затухание волны определяется коэффициентом поглощения
й02/2сор0, соответствующим разностной частоте О.
Отношение амплитуды волны разностной частоты к корню квадратному из
амплитуд исходных волн пропорционально выражению
ехр
(to2 -j- to2 - 2122)т
4СоРо
ехр
Ъ (co'J ¦+* оф х
4с^р0
оно растет с увеличением х. Это означает, что максимум спектра смещается
