Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
о
2тс
0
I y' [cos 0 + cos (20 - a)] dQ.
о
Таким образом, для определения коэффициентов подъемной силы и момента при
любом профиле необходимо только решить простые интегралы.
47. Обтекание двух и более препятствий. С помощью функции Z, - ez
равномерный поток со скоростью U в канале шириной 2я преобразуется в
поток от источника напряжением U в начале координат плоскости ?, т. е.
Кроме того, если W (?) - комплексный потенциал потока у контура С,
созданный источником напряжением U в начале координат, то же самое
преобразование отображает линии тока вокруг С на линии тока у
соответствующего контура G в потоке, движущемся со скоростью U в канале.
В таком случае после отображения С на окружность С' задача потока вокруг
контура G в канале сводится к хорошо известному решению потока,
созданного внешним источником, у круга. Если контур G симметричен по
форме и по расположению в канале, то, как показывает отображение, поток в
канале можно представлять как поток через бесконечную решетку из
симметричных препятствий, причем расстояние между их центрами равно 2я.
В качестве иллюстрации рассмотрим поток через решетку из плоских пластин
шириной 2яА(0<А,<1), перпендикулярных к направлению скорости движения
потока U. Каждая пластина принята симметрично расположенной между точками
z=in( 1-X) и 2 = щ(1+Я) в канале, ограниченном линиями г/-0 и г/ = 2я
(рис. 66).
Преобразование ^ = ег отображает пластину ЛЕВ в плоскости z на дугу ЛЕВ
единичной окружности в плоскости ?', где ей противолежит половинный угол
лХ с центром в точке О. Следующее линейное преобразование ?"=-2icscnX
(?'+cosnX) превращает дугу в подобную ей, проходящую через точки ?"=+2и?"
=-2, с центром в точкеОдо ?" =-2tctgnX. Затем согласно рис. 59
преобразование ?"=?+ 1/? отображает дугу на окружность радиусом secitA/2
с центром в точке Q(?=itgnA,/2), а точку О в ?=i ctgnX/2. Точки О и Р
являются инверсными по отношению к этой окружности, так как
w (г) = U In ? = U in (ez) = Uz.
л X i
- = sec 2
2 я X
2
179
Комплексный потенциал потока у окружности, созданный источником
напряжением U в точке О, получается наложением полей от источника в точке
О и от источника и стока, каждого напряжением U, в точках Р и Q, т. е.
/ яХ'
d?+*ctg-T-
W = U In -----------к
ЯА
5-ftg-y
Тогда w(z) получается из W преобразованием
(c) у
г я
д_
о
О tr(1-A)^ZA
%
_w
_?
f .
х
сю
КН
т
Рис. 66. Отображение плоской пластины в канале
С -j-d - - 2i(ez + cos лХ) esc лХ.
Так как напряжение источника при переходе от плоскости к плоскости t не
изменяется, это выражение дает комплексный потенциал потока, движущегося
со скоростью U через решетку.
Случай потока вокруг контура G, расположенного вблизи бесконечной плоской
границы (скорость потока параллельна границе), эквивалентен симметричному
потоку вокруг пары конгруэнтных контуров. Это - простой случай
двухсвязной области, которая в принципе может быть отображена на две
окружности.
180
Поскольку поток вокруг двух окружностей зависит от свойств эллиптических
функций с двойным периодом, здесь не рассматриваемых, читатель,
интересующийся конформным отображением в таких потоках, должен обратиться
к другим источникам.
48. Полигональные границы. Отображение Кристоффеля- Шварца.
Значительное применение свойства точек разветвления находят в
преобразовании Кристоффеля-Шварца, которое отображает внутреннюю область
многоугольника на верхнюю полуплоскость
Отображение Кристоффеля - Шварца для многоугольника
Г - ^1. _ ап
0I=J(Z - Oi) * (2 - а2) x--'(z- ап) * dz, (115)
ап
где аь 0.2,..., an(ai<a2< •. • <яп) - последовательность п точек на
действительной оси в плоскости г, соответствующих вершинам многоугольника
в плоскости w, внешние углы при которых составляют щ, аг,... а", а их
сумма а\ +а2+ ... +ап=2л. Так как порядок точки разветвления при
интегрировании функции увеличивается на единицу {\zsdz ~г*+1), то
очевидно, что w(z) имеет точки разветвления порядка 1 - а,/я в точках ay.
Для
больших значений z интеграл приблизительно равен z = = 1 Iz2, так что
если то w(z) регулярна всюду, даже в бес-
конечности. Исключение составляют лишь точки аи аг, ..., а".
Рассмотрим путь С (рис. 67), начинающийся в точке а", идущий вправо вдоль
действительной оси к точке а. через оо и затем возвращающийся к ап,
избегая точек разветвления путем описывания бесконечно малых
полуокружностей вокруг них. Очевидно, что при этом w(an)= 0. Для х>ап
каждый множитель (х-а,)-01/71 имеет положительный действительный корень,
который может быть выбран при изучении конкретной ветви многозначной
функции w(z). Следовательно, когда х увеличивается
181
до оо и затем возвращается от - оо к сп [отрицательные вели-
чины г-а, взаимно уничтожаются, так как (-1) -(-I)2],
w возрастает вдоль действительной оси от 0 до А\, где
4
00 а!
1 + ]
(Z- аг) 77 (z - а2) *---(z - a") - dz.
Далее, при обходе по полуокружности первой точки разветвления а,\ радиус
из сп отклоняется на угол -я, и поэтому соответствующее угловое смещение
