Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
полярных координатах р, а в плоскости 2 и Д,р в плоскости w видно, что
окружности а = const в плоскости 2 преобразуются в дуги р = 2а в
плоскости w, как показано на рис. 58.
Очень интересно также получить отображение контура полярных координат
плоскости 2 на плоскость w. Введя в преобразование Жуковского z = reib и
ау = ф + /ф, получим
ф = (г + - ) cos0; ф-/V- MsinB.
\ г I \ г !
165
Таким образом, окружности r = const отображаются в эллипсы с полуосями
г+\/г и г-1/г в плоскости w. Две окружности радиусом г и радиусом 1/г
отображаются в один и тот же эллипо. Линии 0 = const отображаются в
гиперболы
фР l|52 j
4cos2 0 4 sin20
Конфокальные эллипсы и гиперболы с общими фокусами в точках разветвления
w=±2, как и требует отображение, ортогональны друг к другу (рис. 59).
Рис. 59. Отображение преобразования w = z+Uz
Показательная и логарифмическая функции. Показательная функция w = ez
является полной, т. е. функцией без особенностей на конечной плоскости.
Подстановка w = reib и z = x + iy
дает:
г = ех\ у = 6.
Это показывает, что окружности r = const отображаются в вертикальные
линии x = const, тогда как радиальные линии 0 = const отображаются в
горизонтальные линии, а полная плоскость w может быть отображена
горизонтальной полосой шириной 2л (рис. 60). При увеличении 0 от 2л до 4я
конгруэнтная полоса в плоскости 2 отображается снова в полную плоскость
w. Далее этот процесс может продолжаться сколь угодно долго, показывая,
что ег - периодическая функция с периодом 2л и что обратная ей функция z
= lnay- бесконечно многозначная. Если w записать в форме
w = ех+'" = ех (cos у + i sin у),
видно, что периодичность функции объясняется наличием тригонометрических
функций. Точки разветвления в плоскости w существуют при сд = 0 и w= со.
Очевидно, что барьер 0 = 0 в
166
плоскости w отображается в границы у = 2яп, где и = 0,±1,± + 2...- число
периодических полосок.
Поучительно сравнение двух многозначных функций У z и \пг. Обе они имеют
точки разветвления при г = 0 и г= со. Хотя отображение в окрестности
точки разветвления У 5"не является конформным, поведение функции здесь
настолько регулярно и удобно, что 0 и оо могут рассматриваться как обыч-
пые точки на плоскости. Этого нельзя сделать для точек разветвления
функции ш = 1п2, так как они обладают сущест-
венными особенностями. Из-за периодичности отображения в плоскости w (см.
рис. 60 при w и z поменявшихся местами) точка в бесконечности плоскости w
не имеет смысла, так как даже если w беспредельно растет, 2 продолжает
принимать все значения периодических полосок, за исключением нуля.
Функция w - zs при иррациональном s. Когда s иррационально, значение
степени устанавливается из выражения
"s I11 г
w - z = е ,
которое может также быть представлено параметрически через однозначные
функции
w = est\ z - е*.
Введение полярных координат z = retH и w = Reдает R = rs и <p = s0, т. е.
показывает, что отображение модели в полярных координатах подчиняется тем
же законам, что и при целом показателе степени. Когда 6 увеличивается на
2л при вращении вокруг начальной точки, ср увеличивается на 2яs, а для т
полных циклов в положительном направлении оно увеличивается на 2лms, так
что w составляет е2ж1т\ Поскольку s - иррациональное число, его множители
различны для разных значений т; так, если 2nimiS = 2nim2s + 2nni, где тi,
m2 и п - целые числа, тогда s--=nj(m\-т2)-рациональное число, что
167
противоречит гипотезе. Отсюда функция zs бесконечно многозначна и имеет
точки разветвления при 2 = 0 и 2=00.
Весьма ценно свойство кратности s величине углов в точке разветвления.
Оно может быть использовано для преобразования клина с углом а в
полуплоскости путем выбора s = jt/а или для преобразования с помощью
линейной трансформации области, ограниченной двумя дугами,
пересекающимися под углом а, во внутреннюю область круга.
Пример 12. Найти преобразование, которое отображает горизонтальную
бесконечную полосу от у = 0 до у = 2я в плоскости г во внешнюю область
единичного круга так, что точки г=. - 0, оо отображаются в точки
5=ь 1. -?
А'
о-...
-ОО
В'
(c) У с'
\
2JT
" с
0
(c)
С' А С
-1
Обозначим точки г =- со , со , 0, 2л/ так, как показано на рисунке, и
стрелками покажем положительное направление обхода границ АСВВ'С'А'.
Преобразование t\ = ez отобразит тогда полосу АВВ'А' в целую плоскость
t\, рассеченную линией АВ от начала до бесконечности вдоль положительного
направления действительной оси плоскости t\. В плоскости 11 на рисунке
показаны детали отображения и направление обхода границ до перехода к
точкам в бесконечности. Верхняя и нижняя части плоскости от разреза
соответствуют углам у=0 и у=2я. Разрез можно теперь ликвидировать,
заменив 2я на я с помощью преобразования П = ?2>котоРое отобразит полосу
в верхнюю полуплоскость плоскости ?2- Действительная ось может быть
отображена в единичный круг линейным преобразованием. Так как точки А, С
и В существуют при ?2 = 0, 1 и оо, линейное преобразование имеет вид
