Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
измерено в единицах d/U и давление - в единицах рU2, уравнения (123)
принимают вид
(-)' =_____3(p/p-f Q)' 1
Dt /
dx'
Re
(V2")' и т. п. (126)
В уравнениях (126) все величины безразмерны, a Re=t/d/v есть число
Рейнольдса. Присутствие в этих уравнениях величины Re как параметра
показывает, что для подобных потоков несжимаемой жидкости должно не
только соблюдаться геометрическое подобие, но и оставаться постоянным
число Рейнольдса. Хотя Re является единственным параметром, явно
появляющимся в уравнении (126), его может оказаться недостаточно для
доказательства подобия даже потоков несжимаемых жидкостей, для которых
составлены уравнения (126). Если граница потока не является неподвижной,
а представляет свободную поверхность
198
или границу с другой жидкостью, числа Фруда и Вебера могут оказаться
постоянными в заданных граничных условиях при точном обеспечении подобия
течений.
55. Уравнения, описывающие диффузию вихря. Компоненты вихря |, ц и ?
были определены в главе II как
~ dw dv du dw с.______________ dv du
ду дг ' ^ dz dx ' dx dy
Можно показать, что эти выражения удовлетворяют уравнению:
|i + fL + -f = ° (127)
дх ду дг
Для несжимаемой жидкости уравнения Навье - Стокса могут быть записаны
так:
ди с. . дБ ,
-- + W] = - - + v v2";
dt дх
dv ". . с. дВ . "
- - wl + ui = - - + vv2f;
dt ду
dw , и дБ . 2
-- - иг\ + vt = - -- + V V2 W, dt dz
где v = [x/p, а В представляет трехчлен Бернулли
в = - V2 + + Й.
2 ^ р
После исключения В перекрестным дифференцированием и объединения
уравнений (4) и (127) они принимают вид:
Dt ди . ди , с. ди , " .. 1
=1-+ л- + ^-r-+vv2g;
Dt дх ду дг
Dr| * да , Зг , s. да . о
рту = 5 "г Ь ^ ~ f~ h v V Л!
Dt дх ду дг
Dt ойга , dw . г, dw . " ^
К7 = ^ + v V ?•
D/ d* dz
(128)
Из этих уравнений, описывающих диффузию вихрей, можно сделать важные
выводы.
Во-первых, поскольку условия ?=т] = ?=0 явно дают решение этих уравнений,
они также представляют решение уравнений Навье - Стокса, из которых эти
уравнения получены. Таким образом, если пограничные условия не
учитываются, потенциальные течения, которые описываются уравнением
неразрывности при отсутствии компонентов вихря, представляют одну из форм
течения вязкой жидкости. Однако, поскольку в потенциальных потоках всегда
имеет место проскальзывание по неподвижной твердой границе, то такие
потоки можно представить, только если движение каждой части твердой
границы осуществляется
199
с местной скоростью, равной предсказанной для жидкости теорией
безвихревого течения. Когда течение вязкой жидкости без вращения
представляется таким путем, Лапласиан компонентов скорости равен нулю.
Следовательно, члены уравнения (123), включающие вязкость, исчезнут, и
попытка составить уравнение энергии из этих уравнений (как в п. 27) с
несколькими членами, содержащими вязкость, очевидно, не удастся. Это,
конечно, не означает, что в потоке вязкой жидкости без вращения
отсутствует диссипация энергии, ибо, как будет показано далее, за
исключением простейших случаев перемещения или вращения твердых тел,
члены, содержащие деформацию, не исчезают в потоке без вращения, .и
диссипативная функция поэтому не становится равной нулю.
Отсутствие любого из членов, включающих вязкость, в уравнении энергии для
безвихревого установившегося или неустано-вившегося потока в
действительности означает, что в любой области мгновенная скорость
диссипации энергии, вызванной вязкостью, точно компенсируется мгновенной
скоростью совершения работы вязких сил на границе этой области. В
частности, если скорость обтекания безвихревым потоком твердого тела
(поверхность которого движется в соответствии с теорией потенциального
течения) постоянна, диссипация энергии во всей области потока в точности
равна скорости, с которой совершается работа вязкого сдвига по движущейся
поверхности твердого тела. Примерами безвихревого движения вязкой
жидкости могут служить движение жидкости в неограниченном пространстве,
вызванное вращением цилиндра бесконечной длины, и движение между
концентрическими цилиндрами, вращающимися с угловыми скоростями, обратно
пропорциональными квадратам их радиусов. Это простые вращательные
движения, которые могут быть воспроизведены на практике, поскольку
скорость, налагаемая твердой границей, постоянна.
При исчезновении кинематической вязкости уравнения (128) показывают, что
если компоненты вихря равны нулю для какой-то части жидкости, они будут
оставаться равными нулю и впредь, т. е. будет сохраняться безвихревое
движение. Поскольку состояние покоя является безвихревым состоянием,
всякое движение невязкой жидкости, начинающееся из состояния покоя под
воздействием сил, имеющих потенциал, должно оставаться безвихревым. Это
объясняет тесную связь между невязкостью жидкости и безвихревым ее
движением.
Некоторые, возможно, попытаются заключить, что даже если кинематическая
вязкость не равна нулю, уравнения (128) все же указывают на тенденцию к
