Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
линии ф = const и ф = const, показанные на рис. 49, могут рассматриваться
как взаимно ортогональные семейства линий тока и эквипотенциален в
плоскости г. Свойство сохранения величин углов между соответствующими
линия-
149
ми в соответствующих точках является основной характеристикой
аналитических функций. Таким образом, если ?=f(z) -некоторая
аналитическая функция, a z0 -- регулярная точка, в которой {' (го) ф 0,
то
&? = /' (20) Sz>
или, используя полярные представления:
6? = гУ9'; бZ = f'(z0) = рЛ получим
г' = рг, 0' = 0 + а.
Этот результат означает, что элементарный треугольник около точки zQ
может трансформироваться в подобный ему треугольник, увеличенный в р раз
и повернутый на угол а в плоскости ? (рис. 50); иначе говоря, величина
угла между двумя кривыми, пересекающимися в регулярной точке, в которой
f'(z)=}=0, сохраняется при трансформации. По этой причине такая
трансформация называется конформной. Этот результат также показывает, что
отображение малой области вблизи точки Zq на окрестность соответствующей
точки ?0 единственно, т. е. каждой точке в малой области вокруг точки Zq
соответствует одна и только одна точка в области, окружаю-
0г
Рис. 50. Конформное отображение элементарного треугольника
щей точку ?о, и наоборот. Кроме того, когда 0 изменяется от 0 до 2л при
обходе вокруг точки z0 в малой области, 0' также изменяется в пределах на
2я при обходе вокруг точки ?0 в плоскости В теоремах настоящего раздела
было доказано, что большое количество свойств отображения также
существует в конечных областях, в которых функция f(z) регулярна и
f'(z) ?=0.
-Ф
Рис. 49. Отображение комплексного потенциала w = =ф+п|>
150
Свойство конформных отображений, которое определяет настоящий интерес к
ним и их интенсивное изучение, заключается в том, что из решения краевой
задачи для круга может быть непосредственно получено решение для
произвольного профиля путем единственного конформного преобразования
внутренней (или внешней) области произвольного профиля во внутреннюю (или
внешнюю) область уже известного круга. Таким образом, если функция ?=/(г)
трансформирует профиль G в плоскости 2 в круг С в плоскости ? и если
Рис. 51. Преобразование потока, обтекающего тело произвольного профиля, в
поток, обтекающий круг
W(Q = ф(?, ri) + iY(g,Ti)
обозначает комплексный потенциал, который решает краевую задачу для
круга, тогда замена ?=f(z) в комплексном потенциале плоскости z дает
w(z) = W [/ (г)] = ф (х, у) + 1ф (х, у)
или
Ф (?, Г]) = ф (х, г/); Y (?, Г]) = Ф (х, у).
Таким образом, линии тока и эквипотенциали гТ = const и Ф = const в
плоскости ? становятся линиями тока и эквипотен-циалями ф = const и ф =
const в плоскости z. В частности, если С есть линия тока в плоскости ?,
она трансформируется в линию тока G в плоскости 2 (рис. 51). Очевидно,
что задача Дирихле для профиля с заданной величиной ф преобразуется в
задачу Дирихле для круга с теми же значениями потенциала в
соответствующих точках. Когда значения дф/дп - нормальной производной
потенциала на линии G - заданы (задача Неймана), соответствующие значения
дФ/dv нормальной производной на линии С будут:
?--?|Л"Г. (101)
причем 6Ф=бр5, dv = |6?|, когда бл = |6z|, и |б?| = |/'(z)|X X|6z|.
151
Комплексные скорости в плоскостях г и ? также составляют простое
соотношение:
dw = <М_ jK_. dz dt, dz
или, обозначая компоненты скорости в плоскости 2 через и и v, а в
плоскости ? через U и V:
и -iv = ((/ - гУ) f (г).
Следует подчеркнуть, что приведенные соотношения не требуют, чтобы
замкнутый контур С был окружностью. Однако очевидно удобство
осуществления трансформации границы области в круг при помощи одной или
нескольких промежуточных плоскостей, к каждой из которых могут быть
применены указанные соотношения для граничных условий.
Применение конформного отображения к решению проблем потоков таит в себе
большие опасности, которые можно избежать, зная свойства, ограничения и
возможности таких отображений. С этой целью ниже перечислены и затем
рассмотрены некоторые наиболее важные теоремы о конформном отображении.
а. Если функция ?=/(z) регулярна на простой замкнутой кривой G и внутри
нее и дает единственное преобразование кривой G в простую замкнутую
кривую С в плоскости ?, тогда преобразование также приводит к
единственному соответствию между внутренними областями контуров С и G,
так что С и G описываются в одинаковом смысле.
б. Если функция ?=/(z) регулярна, а функция f'{z)=f= 0 на простой
замкнутой кривой G и внутри нее и если G отображается в замкнутую кривую
С на плоскости ?, то отображение между G и С и их внутренними областями
единственно (т. е. каждой точке одной области соответствует одна и только
одна точка другой области).
в. Если функция f(z) регулярна во внутренней области простой замкнутой
кривой G, составленной из конечного числа сегментов z = z(t), вдоль
которых z дифференцируема и z'(t)=f= 0, и дает единственное отображение
данной области на внутреннюю область круга С, то существует также
