Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
принятые значения соответствующее уравнение и граничные условия. В
случае, если эти значения не удовлетворяют уравнение, их корректируют.
Для выполнения этих операций необходимо заменить бесконечно малые
дифференциальные элементы элементами малыми, но конечными, а затем
воспользоваться методами теории конечных разностей. Приближенное
выражение можно получить для функции ф уравнения Лапласа, приняв значения
ее величины в равномерно распределенных точках такими, как показано на
рис. 40. Расстояние а принимается достаточно малым, чтобы изменение
функции от точки к точке можно было считать линейным. Если х0 и г/о -
координаты центральной точки, то в точках (хо + а/2, у о) и (х0-й/2, у0)
приближенные градиенты соответственно равны
дф _ фф_ = ф\ - фп Фо - Фз дх дх а а
Частная производная второго порядка может быть аппроксимирована подобным
же образом в точке (х0, у о) ¦
д2ф (Фг- Фа)!а - (Фо - фз)/а = Ф1 + Ф3 - 2ф0 дх2 а аг
Тем же самым приемом может быть аппроксимирована частная производная
второго порядка в направлении у.
д2ф фь -)- Ф* - 2ф0
ду2 а2
Эти соотношения можно сложить для выражения уравнения Лапласа в форме
конечных разностей в точке (х0, у о) через величины принятых потенциалов
в пяти точках:
°2 ('Щ% + 39 = & + & + & + & - 4$0-
Аналогичное выражение получается для функции тока при замене в данном
равенстве ф на ф.
02
ф3 Фо Ф, \ а t
Фа 1 а 1
- а - - а -и
Рис. 40. Распределение потенциалов для правильной секции
9*
131
Для осесимметричных систем уравнение несколько усложняется из-за
дополнительного члена, но выведено оно может быть совершенно так же:
а2 д*ф_ J_ дф_\ _
1 дг2 дг2 г ' дг I
Фг~Фи
' Фг ~г Фз + фз + фь - 4ф0 -)-
2л
где п = г0/а - число равномерных подразделений между точкой (r0, z0) и
осью г=0. Уравнение для определения функции тока подобно по форме и
отличается лишь изменением знака у третьего члена:
I * i 0. -т-
t а 1 Ф3 | Фо Ф1У О f
1 i а Фц J Atfi
1 Л] Q
/<321|>
I дг2
д2т|)
дг2
1
<Этр
дг
¦ Ф1 + ф2 + Фз + ф.4 - 4ф0
^2 - 2п
Рис. 41. Распределение потенциалов для неправильной секции
Вблизи твердой границы некоторые из четырех соседних точек не могут
находиться на равном расстоянии от рассматриваемой, как, например, на
рис. 41, где подлежат определению Xi и Я,4. Уравнение Лапласа в форме
конечных разностей для точки О соответственно для двухмерной и
осесимметричной систем имеет вид:
+ Фг + Фз
Фи
Я4
- фо 2 4 :---------------Ь
Ф\
+ Фг + фз +
Фо (2 Н-: Ь
1
К
фг - ф4 п ( 1 -j- Х4)
Процесс, с помощью которого полученные равенства используются для
уточнения принятых значений ф и ф, называют "систематической релаксацией
ограничений" или просто "релаксацией". Этот процесс состоит из двух
частей: корректировка принятых величин до тех пор, пока справа в каждой
точке не получится нуль или почти нуль, и подразделение площади на столь
малые квадраты, чтобы допущение о линейности изменения функции от точки к
точке оказалось справедливым. Нет необходимости, конечно, делать все
квадраты равными по размеру; практически чем выше ускорение, тем мельче
должны быть квадраты, и наоборот. После окончания процесса релаксации
скорость в любой точке может быть определена по значению надлежащего
градиента; давления, а отсюда силы и моменты могут быть затем вычислены с
помощью уравнения Бернулли.
132
Основным преимуществом процесса релаксации является неограниченное
разнообразие граничных условий и простота вычислений. К специальным легко
решаемым случаям относятся задачи о свободных поверхностях, в которых
границы определены кинематически.
Большая трудоемкость решения задач методом релаксации может быть
преодолена использованием соответствующего электрического аналога. В этом
электрическом конечно-разностном аналоге сопротивления располагаются в
виде квадратной решетки. Все сопротивления, за исключением находящихся у
твердых
Рис. 42. Основные элементы для расчета в конечных разностях
границ, имеют одинаковую величину. Значения тех сопротивлений, что
находятся у твердых границ, подсчитываются на основании геометрии.
Указанная решетка соответствует квадратной сетке, используемой в процессе
релаксации. Когда электрическая разность потенциалов прилагается к
контактам, представляющим вход и выход потока, тогда электрический
потенциал каждого соединения сопротивлений автоматически принимает
значение, пропорциональное потенциалу соответствующей точки окончательной
сетки релаксации. Скорости и, следовательно, давления, силы и моменты
вычисляются по измеренному градиенту потенциала, коэффициент длины равен
при этом коэффициенту, употреблявшемуся при вычислении величин
сопротивлений.
При использовании сеточного аналога очень важно правильно выбрать
величины сопротивлений. Для этого вся область, представляющая поток,
подразделяется на треугольные элементы, каждый из которых изображает
треугольное расположение сопротивлений (рис. 42). Допустив, что элемент
