Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Nx и JV2, т. е. от высокочастотной моды к низкочастотным энергия перейти
может. Такой процесс называют распадом или распадной неустойчивостью. Мы
получили, что низкочастотная мода не передает энергию высокочастотной, а
высокочастотная мода может распадаться, т. е. ее энергия может
передаваться низкочастотным модам. Это легко пояснить на языке
квазичастиц. Закон сохранения энергии не противоречит распаду
низкочастотных мод. однако важно еще, чтобы этот закон выполнялся и в
элементарном акте взаимодействия квазичастиц: 1)и:х+Нш2 = Ьшз (frw, -
энергия кванта на частоте ojj). При большом в начальный момент времени
числе кван-
N
a) t
' Л/3
/и
б)
t
Рис. 17.2. Осциллограммы интенсивностей колебаний на j-й нормальной
частоте (.3 = 1, 2, 3): а - iVi(0) > N2(0), ЛГ3(0);б - V3(0)> TVi(0),
JV2(0)
17.1. Взаимодействие трех связанных осцилляторов
355
тов с частотой и малом с частотой ш2 число квантов с частотой ш3 в
процессе взаимодействия остается малым (квантам с частотой u>i не с чем
сливаться). Распаду же квантов с частотой ш3 на кванты с частотами из2 и
ш\ ничто не препятствует. На рис. 17.2а изображены осциллограммы
интенсивностей Nj для случая, когда в начальный момент максимальна
низкочастотная мода (iVi(O) N2(0), N3(0)). Рис. 17.26 иллюстрирует случай
JV3(0) S> Ni(0), N2(0).
На основании квантовой аналогии можно сделать еще один важный вывод: если
параметры системы медленно изменяются, то величины (17.8) являются
адиабатическими инвариантами. Итак, квантовые осцилляторы при медленном
изменении параметров не меняют свой квантовый номер, т. е. число квантов
при отсутствии слияний или распадов - это адиабатический инвариант. Когда
же слияние или распад есть, то сохраняется при медленном изменении
параметров неиспользованная в процессе слияния разница Ni(t) - N2(t), и,
конечно, сумма уже родившихся к моменту t квантов N3 и еще не истраченных
к этому времени квантов N2, т. е. N2(t) + N3(t), также будет
адиабатическим инвариантом.
В частном случае постоянной разности фаз колебаний для системы (17.6),
описывающей взаимодействие слабонелинейных осцилляторов, легко построить
фазовый портрет. Полагая в (17.6) aj = Aj exp(iipj), получаем
Ai = <jA2A3 sin Ф, A2 = crAi A3 sin Ф, A3 = - aAi A2 sin Ф,
(17.9)
Ф = -ct{AiA2 / A3 - A\A3jA2 - A2A3 / A\) cos Ф,
где Ф = ip3 - tp2 - (pi. Будем считать, что Ф = 7г/2 = const. Тогда
систему (17.9) можно записать в виде
Ai = сгА2А3, А2 = aA3Ai, А3 = -оА\А2. (17.10)
В этом частном случае мы можем выяснить ход фазовых траекторий в
трехмерном фазовом пространстве A±A2A3. Они будут располагаться на
поверхности постоянной энергии - на эллипсоиде
coiAj -j- lj2A2 -Т ui3Aj = const
с полуосями (ш2и3)1/2, (шх^э)1/2, (ыщ;,)1/2. фазовые траектории
получаются при пересечении этого эллипсоида с поверхностями Aj + А2 =
const, А\ + Aj = const и Aj - Aj = const. Вблизи осей Ai и Ао (рис. 17.3)
фазовые траектории (типа 1) представляют собой эл-
356
Глава 17
А
липсы, т. е. каждая из мод А\, А2 при малом возмущении действительно
совершает небольшие колебания вблизи начального значения. Мода же
максимальной частоты может распадаться, т. е. полностью передавать свою
энергию модам А\ и А2 (траектория типа 2). Наши уравнения (17.10)
совпадают с уравнениями
А.
А2 Эйлера, которые описывают свободные движения твердого тела с
закрепленной точкой, мо-
\ / менты инерции которого относительно главных
осей удовлетворяют соотношению 1г > h > h-Рис. 17.3. Фазовый пор- Эти
уравнения имеют вид [2] трет системы, описыва-
стве А1А2А3
Вращение тела вокруг оси со средним значением момента инерции I2
неустойчиво, т. е. это - аналог распадной моды W3.1
В случае Ni(0) -/V2(0), N3(0), систему (17.6) можно проинтег-
рировать, считая, что ai(0) = 0° = const. Это так называемое приближение
заданного поля. Тогда уравнения (17.6) можно записать так: а,2 = -
г<та3(а°)*, аз = - i<ya\a2. Отсюда а2 + <т2|"°|2а2 = 0 и а3 +
+ ег2|а°|2а3 = 0, т. е. а2 и а3 будут изменяться периодически
в со-
ответствии с формулами
а,2 = a2(0) sin [cr|a.° + ^2(0)] ,
аз = а3(0) sin [o\a°\t + </?з(0)] .
Если же N3(0) iVi(O) и N3(0) > ^2(0), то выяснить закон изменения
амплитуд ai, a2 можно для малых t. Действительно, при этом
Отсюда di - <r2|a^|2ai = 0, а a2 - <т2|аз|2а2 = 0, т. е. а3 и а2 растут
по экспоненте. Однако из соотношений Мэнли-Роу (17.8) следует, что этот
рост будет ограничен значением а3(0) = а
цилляторов в трехмерном фазовом простран-
ющей взаимодействие a -трех слаболинейных ос- dt
о *
а\ = - г<та3а2,
1 Много интересных задач, подобных изложенным, возникает при анализе
коле-
баний искусственного спутника Земли около положения относительного
равновесия на орбите [3].
17.1. Взаимодействие трех связанных осцилляторов
357
Приведем здесь решение системы (17.9) в общем случае произвольной
начальной разности фаз Ф = <рз - <Р2 - <pi [9, 12]. Последнее из
уравнений (17.9) запишем в виде
(Аз Аз Аз Ах Ах Аз \ d i / л л л \
