Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
[2, 4].
В сверхвысокочастотной электронике для описания процесса группирования
электронов в пространстве дрейфа отказываются от переменных Эйлера (х, t)
и переходят к переменным Лагранжа (t, to) или (х, to), где t0 - начальный
момент влета электрона в трубу дрейфа. В рамках кинематического подхода
время пребывания электронов в пространстве группирования (трубе дрейфа)
определяется как t - to =
¦ длина дрейфа, х -
Рис. 18.1. Эволюция во времени синусоидального возмущения в пучке
невзаимодействующих частиц (скорость и - сплошные кривые, плотность р -
штриховые кривые): а - начальное состояние пучка, соответствующее
начальному возмущению скорости: б - образование электронных уплотнений -
группирование частиц вблизи точек 1 и 2; в, г - опрокидывание "волны"
скорости и образование удвоенного числа особенностей на кривой р - р(х)
= J dx/v(x, t), где I ¦ о
текущая переменная интегрирования. Сгруппированный ток можно найти из
закона сохранения заряда, J(0, to)dto = 1{х, t)dt,. в котором dto - время
прохождения группой электронов плоскости х = О, a dt - плоскости х.
Предположим, что действие устройства, создающего модуляцию по скорости
перед трубой дрейфа (см. гл. 1). описывается
выражением 2 2 " ¦
mv /2 = mvo/2 + eV\ smujt0,
18.1. Кинематические волны
373
где v - скорость на входе в трубу дрейфа, vo - скорость в отсутствие
управляющего ВЧ-воздействия, V\ - амплитуда ВЧ-напряжения, т и е - масса
и заряд электрона, ш - круговая частота гармонического управляющего
воздействия. Тогда при V\/Vo = ? -С 1
v = ио[1 + (l/2)?smwio]>
где Vo - mvЦ(2е). Очевидно, что в этом приближении
t = t0 + l/v и t0 + (l/v0)[1 - (l/2)?sinwioj
или для угла пролета в пространстве дрейфа
wt - uto = в = wl/vо - (wl?/2vo) sinw^o-
Величина ?#o/2, где во = wl/vо, характеризует разницу во времени
пребывания различных электронов в трубе дрейфа; ее называют параметром
группирования (детали кинематической теории группирования прекрасно
изложены в [8]). Наглядное представление о группировании в трубе дрейфа
дает так называемая пространственно-временная диаграмма на плоскости х,
wto (рис. 18.2). Поскольку до пересечения потока с плоскостью
модулирующего устройства поток был однородным по скорости и плотности,
траектории электронов до этого устройства разделены одинаковыми
временными (угловыми) интервалами Auto (поток однороден по плотности) и
имеют одинаковый наклон (поток однороден по скорости). Воздействие
управляющего напряжения приводит к модуляции скорости электронов -
периодическому изменению наклона траекторий. Для электронов типа 2 на
рис. 18.2 наклон прямой не меняется, поскольку они пересекают плоскость
модулятора в тот момент, когда управляющее напряжение равно нулю. Для
электронов типа 1, попадающих в тормозящую фазу поля, наклон траекторий
уменьшается, для электронов типа 3 - увеличивается (они попадают в
ускоряющую фазу поля). За период высокочастотного воздействия траектории
сходятся (образуется уплотнение частиц) или расходятся (образуется
разрежение частиц), что и иллюстрирует процесс группирования. Иногда
вместо группирования говорят о фазовой фокусировке по аналогии с
фокусировкой пучка световых лучей в геометрической оптике. Если
воспользоваться законом сохранения заряда и выражением для времени
пролета t - to, то dt/dto = 1 - (#о?/2) coswto и сгруппированный ток
I = 7(0, *0)/[1 - (0о?/2) cosw?0].
374
Глава 18
и,р \
А 1 \ /
¦ > У-х
Рис. 18.2. Пространственно-временная диаграмма группирования электронов в
пространстве дрейфа: 1 - электрон, который тормозится полем; 2 -
электрон, не испытывающий воздействия со стороны поля: 3 - электрон,
который ускоряется полем; рисунки справа показывают соответствие
"волнового" (рис. 18.1) и корпускулярного подходов к описанию процесса
группирования
Заметим, что, хотя мы и полагали ? -С 1, параметр группирования X = =
#of/2 может быть и не малым, поскольку во принимает любые значения.
Поведение сгруппированного тока в зависимости от оД0 и °т параметра X,
пропорционального длине I трубы дрейфа, иллюе~рирует рис. 18.3, взятый из
[8]. Из сравнения зависимостей плотности от координаты на рис. 18.1 и
зависимостей на рис. 18.3 легко установить соответствие "волнового" и
"корпускулярного" подходов к описанию процесса группирования. Условия
ди/дх -У оо и р -> оо в "волновой" картине соответствуют X = 1 vi I -^ оо
в "корпускулярной". Из последнего условия X = ш1о?/(2vq) = 1 находим, что
фазовый фокус уплотнение бесконечно большой величины - образуется на
расстоянии Iq = 2vo/{&)-Траектории таких фокусов представлены на рис.
18.Зе.
18.2. Бегущие волны в нелинейной среде без дисперсии
Отсутствие дисперсии означает, что различные физические переменные при
волновом движении среды мгновенно следят за изменениями друг друга, т. е.
какие-либо независимые пространственно-временные масштабы (времена
релаксации, периодичность структуры
18.2. Бегущие волны в нелинейной среде без дисперсии
