Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
режим одномодовой генерации. Как правило, торжествует та мода, для
которой линейный инкремент максимален. Таким образом, то замечательное
обстоятельство, что в неравновесной системе (среде) из начально
генерируемого шума устанавливается простой динамический режим, в первую
очередь связано с эффектом конкуренции.
К разрежению и упорядочению спектра колебаний приводит и эффект
синхронизации. При синхронизации моды не подавляют друг друга, но взаимно
сдвигают частоты так, что с учетом нелинейных поправок они либо совпадут,
либо станут соизмеримыми. На торе вместо квазипериодической обмотки
появляются предельные циклы. Взаимная синхронизация мод возможна как по
частотам, так и по волновым числам. В последнем случае эффект
синхронизации выглядит особенно нетривиально - именно пространственной
синхронизацией мод объясняется возникновение сложных упорядоченных
структур в неодномодных автоколебательных системах (в частности,
шестигранных призматических ячеек Бенара при термоконвекции, о которых
будем говорить позднее).
Наглядный пример синхронизации в ансамбле большого числа автогенераторов
приведен на рис. 16.16. Здесь представлены результаты численного
эксперимента с системой (16.17) в случае линейной связи осцилляторов с
близкими частотами при 7i = Ащ = 1 [9, 10]:
N
Q.n - 7V ^ COS((?>fc Рп) k-1
N
fin = 0,27V"1 ^2 Ak sin(<pk - (pn)-
к=1
Предполагалось, что при отсутствии взаимодействия автогенераторы
16.3. Взаимная синхронизация мод
349
у/к
у/к
у/к
50
100
50
100
50
100
Рис. 16.16. Синхронизация ансамбля из 100 связанных автогенераторов с ло-
ренцевым распределением по частотам (ф - полная фаза осциллятора, А2 -
квадрат амплитуды, Т - 2к/шф) для моментов времени: 0 (а); 40Т (б); 80Т
(в); к - номер генератора
распределяются по частотам согласно функции Лоренца:
/М = --^~г-----------12-
7Г g2 + (и - и>о)
Ясно, что если вначале амплитуды Л; и фазы Ф* = ^ - w0t мод имели
случайные значения, то уже по прошествии 80 периодов в результате
синхронизации практически устанавливается одночастот ый режим. Достаточно
сильная связь генераторов может привести и к обратному синхронизации
эффекту - хаотизации.
Именно такое доведение демонстрируют два связанных автогенератора - при
очень сильной связи в системе возможны стохастические автоколебания (в
этом случае система переходит в автогенератор со стохастическим
поведением; см. гл. 22).
Глава 17
Резонансное взаимодействие осцилляторов
17.1. Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной
нелинейностью
Рассмотрим одну из основных и в то же время элементарных задач теории
нелинейных колебаний и волн - взаимодействие трех связанных осцилляторов
с квадратичной нелинейностью. При отсутствии нелинейности, как мы знаем,
в системе из трех связанных осцилляторов будут происходить движения,
представляющие собой просто суперпозицию колебаний на трех нормальных
частотах (ц)г, ш2, шз)- Уравнения системы, записанные в нормальных
координатах, имеют вид 'ij + + u2jXj = 0 (j = 1, 2, 3). Наличие слабой
нелинейности приведет к появлению малых правых частей в уравнениях, т. е.
itj + uijXj = nfj(x1, х2, х3), где (17.1)
Естественно задать два вопроса: 1) почему мы выбрали для анализа
взаимодействие именно трех осцилляторов и 2) почему ограничиваемся
квадратичной нелинейностью? Эти вопросы связаны друг с другом.
Действительно, если имеется функциональная нелинейная зависимость какой-
либо величины, например, от напряжения (нелинейность, хотя и
произвольная, но слабая), то эта зависимость может быть представлена в
виде ряда по степеням напряжения. В нашем случае (рис. 17.1а) заряд Q
зависит от напряжения U, поэтому
Q(U) = C-JJ + C2U2 + C3U3 + ...
Таким образом, если нелинейность слабая, то квадратичное слагаемое - это
первое слагаемое, которое может дать нетривиальный эффект. В то же время
благодаря нелинейности в системе порождаются новые комбинационные
частоты, причем при квадратичной нелинейности простейший процесс такого
типа - это образование суммарной (ш = шп + шт) или разностной (ш = шп -
шт) частот. Появившиеся
17.1. Взаимодействие трех связанных осцилляторов
351
а)
k
k
k
б)
в)
Рис. 17.1. Возможная модель взаимодействия трех связанных осцилляторов
(а); дисперсионные диаграммы, иллюстрирующие резонансное взимодей-ствие
трех связанных волн-осцилляторов (например, взаимодействие высоко-и
низкочастотных электромагнитных волн в среде, состоящей из осцилляторов с
собственной частотой шо) (б, в) и связь частот и волновых векторов при
вынужденном рассеянии Мандельштама-Бриллюэна (г)
вновь (из-за нелинейности) комбинационные составляющие в дальнейшем,
конечно, тоже могут принять участие в процессе взаимодействия, но только
в том случае, если их амплитуды не слишком малы. Для того чтобы
генерируемые слабой нелинейностью "новые" компоненты имели не малую
амплитуду, их частоты должны быть резонансными, т. е. должны быть близки
к нормальным частотам системы. Отсюда следует, что простейший акт
