Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
автоколебания с амплитудой р = 2 и произвольной фазой ip = arctg(А/В).
б) Если же искать решение на частоте ft, близкой к собственной частоте
ы0; то ? ф 0. При этом легко показать, что для системы (16.5), где Е = 0,
существует единственный устойчивый предельный цикл, симметричный
относительно начала координат (рис. 16.3 в). По-прежнему А2 + В2 = const,
но теперь А и В меняются с частотой ?. чему соответствует изменение фазы
с той же частотой, т. е. d<p/dT = ? - получается сдвиг частоты точно на
?. Если бы предельный цикл был несимметричен относительно начала
координат, то р2 = А2 + В2 уже не было бы постоянным и периодическую
модуляцию испытывала бы и амплитуда колебаний, т. е. в системе возникли
бы биения. Именно так получается в неавтономном случае.
334
Глава 16
Рис. 16.4. К объяснению синхронизации внешним сигналом: а - зависимость
амплитуды внешнего сигнала от амплитуды колебаний на частоте внешнего
сигнала; б - резонансные кривые неавтономного генератора; при -Евн < 4/27
реализуется случай слабых внешних сигналов (кривые 1, 2); при Еви > 8/27
сильных (кривая 3)
откуда легко получить для р = нансной кривой
Неавтономный генератор. Попробуем найти режим синхронизации, т. е. режим,
в котором генератор выдает колебания не на собственной частоте, а на
частоте внешнего поля. Наличие такого режима, например, создает
возможность для управления частотой мощного генератора слабым сигналом.
Определим параметры режима синхронизации, его границы, и выясним, что
будет вне полосы синхронизации. В режиме захватывания амплитуды А и В
должны оставаться постоянными. Введем для удобства амплитуды а = А/2, Ъ =
В/2 и Евн = Е/2. При этом система будет иметь вид
а = а[1 - (а2 + Ъ2)} - Ы/ + Ев Ь = Ь[ 1 - (в2 + &2)] + а?.
(16.6)
Состояния равновесия определяются из уравнений
По[1 - (Пд + &о)] " Евн,
&о[1 - ("о + Ьо)} + аоС = О,
йд + Ьд так называемое уравнение резо-
р(1-Р)2+ер=Е2в
(16.7)
Оно дает зависимость амплитуды колебаний на частоте внешнего сигнала от
амплитуды последнего и расстройки. Разрешая (16.7) относительно
расстройки, получаем
? = ±{[Е2н-р(1-р)2]М1/2:
откуда следует, что действительные значения ? существуют только при ElH ^
S'ip) - р{ 1 - р)2 (рис. 16.4). Резонансные кривые 1,2,3
соответствуют значениям амплитуды внешней силы Е2
Гр 2 Т?2
вн1' вн2* внЗ*
16.1. Вынужденная синхронизация
335
При Е2И < 4/27 резонансные кривые состоят из двух ветвей - это слабые
внешние сигналы; Е%н > 8/27 соответствует сильным сигналам, и резонансная
кривая имеет вид кривой 3 на рис. 16.4.
Остается выяснить, какие ветви резонансных кривых устойчивы, так как
только они будут соответствовать реальному режиму синхронизации. Для
этого надо линеаризовать систему (16.6) вблизи равновесных состояний,
найти границы устойчивости и нанести их на плоскость р?. Запибывая (16.6)
в виде
а - ур(а, Ь),
Ь),
получим линеаризованные уравнения для ai = а - а0 и Ь\ = Ъ - Ь0:
= tPa(a0i bo)a,i + <р'),(ао, &o)bi,
&i = i>'a{aQ, b0)ai + ip'b(aQ, b0)bi.
Характеристическое уравнение имеет вид
Л2 + рХ + q = О,
где
Р = ~(<Ра +?'{.) = АР~ 2> 9 =
<Ра <Pb Ф'а Ф'ь
(1-Зр)(1-р) + С2.
Области устойчивости определяются, следовательно, неравенствами Р > 1/2,
(l-3p)(l-p) + f >0.
Определим заодно и типы состояний равновесия: при q > 0 имеем область
седел; приравнивая нулю дискриминант характеристического уравнения D =
р2/4 - q > р2 - ?2, получим границу между узлами и фокусами. Разбиение
плоскости р? на области с различными типами состояний равновесия
приведено на рис. 16.5 а. Там же штриховкой выделена граница
устойчивости. Совместим рис. 16.4 б и 16.5 а. оставляя только те ветви
резонансных кривых, которые попадают в устойчивую область (рис. 16.5 б).
Граница области синхронизации для сильных сигналов определяется
пересечением резонансной кривой с прямой р = 1/2. Подставляя это значение
р в (16.7), получаем
с2 = 2El - 1/4.
(16.8)
336
Глава 16
б)
Рис. 16.5. К определению устойчивости ветвей резонансных кривых и типов
состояний равновесия: а - разбиение плоскости р? на области с различными
состояниями равновесия (штриховкой выделена граница устойчивости): б -
результат совмещения рис. 16.4 б и 16.5 а (оставлены ветви резонансных
кривых, которые попадают в устойчивую область)
Для очень слабых сигналов можно считать, что граница области
синхронизации определяется пересечением резонансных кривых с прямой р = 1
(координаты точек эллипса мало отличаются от этого значения), и,
следовательно, ?j = El- При выходе из режима синхронизации генератор
ведет себя по-разному при сильных и слабых сигналах.
Слабый сигнал, как уже указывалось выше, соответствует амплитудам
внешнего сигнала El < 4/27. При El = = 8/27 резонансная кривая касается
эллипса, ограничивающего область седел. Если El > 8/27, то при любых ? в
системе имеется единственное состояние равновесия, и такой 1 внешний
сигнал будем считать сильным.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
Сильный сигнал (El > 8/27). Амплитудно-частотная характеристика для этого
