Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
сужается (рис. 15.146).
15.5. Гомоклинические структуры
323
Рис. 15.14. Следы траекторий на секущей плоскости х\ = 0 фазового
пространства системы (15.8) при р = 1 и с<§о > 1/12 (а) и сложные
движения системы двух нелинейных осцилляторов (15.8) при So = 0,125 (б)
Итак, движение в трехмерном фазовом пространстве связанных нелинейных
осцилляторов может быть очень сложным.
Откуда появляется эта сложность? Попытаемся ответить на этот вопрос,
вернувшись к модели нелинейного осциллятора в периодическом поле.
324
Глава 15
Будем в модели связанных нелинейных осцилляторов считать движение одного
из осцилляторов заданным и гармоническим:
xi - xi + xl = ц s'mt. (15.9)
При /х = 0 мы про этот осциллятор все знаем (см. рис. 15.1). Рассмотрим
его поведение при /т <С 1 в трехмерном фазовом пространстве, где третьей
координатой является время t. Физически кажется очевидным, что
качественное отличие неавтономных движений от автономных появится в том
случае, когда под действием внешней силы осциллятор в разные моменты
времени попадает в области с качественно различным характером поведения
(на фазовой плоскости этим разным движениям соответствуют области внутри
или вне сепаратрисы). Проще всего это увидеть, если синусоиду в (15.9)
заменить периодической последовательностью прямоугольных импульсов. Два
раза за период фазовый портрет (см. рис. 15.1д) сдвигается то влево, то
вправо на величину порядка fi. Для колебаний малой амплитуды эти
пульсации пройдут почти незамеченными - движения останутся простыми.
Движения же, близкие к сепаратрисе, могут оказаться сложными (см. гл.
13). Эта сложность связана с существованием в пространстве системы (15.8)
гомоклинической структуры [5, 6], открытой Пуанкаре в связи с
исследованием задачи трех тел еще в 1889 г. Такая структура возникает
лишь в пространстве с п ^ 3 в окрестности гомоклинической траектории. Для
трехмерного случая соответствующая ситуация показана на рис. 15.15.
Полное описание траекторий внутри этой структуры было дано сравнительно
недавно [8, 14]. Было, в частности, выяснено, что такая структура
содержит счетное множество неустойчивых (седловых) периодических
траекторий, между которыми (при широком выборе начальных условии) и
блуждает осциллятор.
Приведенный описательный пример иллюстрирует тот факт, что трехмерные
динамические системы могут качественно отличаться от двумерных. Эти
отличия связаны прежде всего с возможностью су-
Рис. 15.15. Грубое пересечение устойчивого (Ws) и неустойчивого {Wu)
многообразий седлово-го периодического движения Г в а:а:1-пространстве
15.5. Гомоклинические структуры
325
ществования в фазовом пространстве трехмерных систем, как конечного, так
и бесконечного числа неблуждающих траекторий (что и характерно для
гомоклинической структуры). Если в многомерной системе число состояний
равновесия и периодических движений конечно (системы типа Морса-Смейла),
то их динамика во многом похожа на динамику двумерных систем - в таких
системах могут быть только простые движения. Если же в фазовом
пространстве системы существует бесконечное множество различных
периодических движений (сюда относится и только что обсуждавшийся
пример), то поведение такой системы уже очень сильно отличается от
поведения двумерных систем.
Обсудим механизмы возникновения и некоторые свойства гомо-клинических
структур. Вернемся к неавтономному осциллятору (15.9). При (1 / 0
возникает седловое периодическое движение (рис. 15.15). В фазовом
пространстве xxt, ему соответствует траектория, проходящая в моменты t =
2тгп (п = -1, 0, 1, 2, ...) через начало координат. Устойчивая и
неустойчивая сепаратрисы теперь становятся поверхностями. Та поверхность,
по которой траектории стремятся к периодическому движению, называется
устойчивым многообразием (ИС,); та, по которой уходят от него (или
стремятся к нему при t = - оо), - неустойчивым {Wu).
Будем описывать поведение траекторий с помощью отображения Пуанкаре. Для
этого рассмотрим зависимость координат точек (х. х) на секущей плоскости
t = 2тт(п 4-1) как функцию координат (х, х) на плоскости t = 2ттп.
Отождествим плоскость t = 2тгп и t = 2тг(п + 1) и будем говорить о
точечном отображении плоскости t = const в себя. Оно задается формулой
?n+1 = F(?n), где вектор ?п = (хп, хп). Если движение периодическое, то
?*+1 = = F{C)i и емУ на секущей
плоскости соответствует неподвижная точка отображения ?*. Седлово-му
периодическому движению на секущей соответствует седловая неподвижная
точка, а устойчивому и неустойчивому многообразиям - устойчивая и
неустойчивая сепаратрисы. (Эти сепаратрисы состоят из точек пересечения
траекторий с секущей t = const.) По устойчивой сепаратрисе точка
стремится к f в результате бесконечной последовательности пересечений с
секущей плоскостью при п -> +оо, по неустойчивой сепаратрисе точка
стремится к ?* при п -> - оо. Поведение сепаратрис на секущей может быть
совершенно иным, чем на фазовой плоскости. Самое важное заключается в
