Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
приведены на рис. 15.1. который собрал в себе все, что мы пока знаем.
Уравнение нелинейного осциллятора х + f(x) = 0, как уже говорилось в гл.
13, можно проинтегрировать и найти аналитическое выражение для x(t).
Если в системе учесть еще и затухание, т. е. если уравнение будет иметь
вид х + hi• + f(x) = 0, то аналитически найти решение достаточно сложно.
Однако из физических соображений ясно, что при малом затухании состояние
равновесия "центр" должно перейти в "фокус": соответствующий фазовый
портрет изображен на рис. 15.2.
Теперь посмотрим, что будет, если контур линейный, а затухание
нелинейное. Пусть, например, в контуре имеется нелинейная проводимость
(рис. 15.3 а). Если затухание знакопостоянно, то характер
308
Глава 15
Рис. 15.1. Фазовые портреты линейного и нелинейного осцилляторов.
Линейные осцилляторы: а - х + aig = 0, состояние равновесия типа "центр":
б - х - а2х = 0 - "седло"; в - х-\-2ух+и>ох = 0, у2 < а>о - "фокус"; г -
х + 2ух + +ixiqX = 0, 72 > и>1 - "узел" (все состояния равновесия -
начало координат). Нелинейные осцилляторы: д - х - х{1 - х/2) = 0 -
"седло", "центр"; е - х + sins = 0 - "седло", "центр", "седло"; ж, з --
автоколебательные системы
движений в таком нелинейном контуре будет мало отличаться от характера
движения линейного осциллятора с трением; будет меняться только скорость
приближения изображающей точки к состоянию равновесия. А что будет
нового, когда затухание знакопеременно? Рассмотрим, к примеру, уже
знакомую нам схему с туннельным диодом, характеристика которого
представлена на рис. 15.36. Если рабочая точ-
15.1. Основные типы траекторий
309
Рис. 15.2. Фазовые портреты для неконсервативного нелинейного осциллятора
с малой диссипацией (ic + hi + f(x) = 0 - "седло", "фокус")
а)
Рис. 15.3. Схема линейного контура с нелинейной проводимостью (а); воль-
тамперная характеристика туннельного диода (б), окружности х2 + у2 = R2 и
траектории, проходящие через них (R = 1 - траектория - предельный цикл; R
< 1 - траектории выходят из окружности радиуса R; R > 1 - траектории
входят в окружность радиуса R) (в)
ка выбрана на падающем участке, то характеристика может быть
аппроксимирована полиномом
I(U) = /о - g(U - С/0) + a(U - С/0)3.
Движение в контуре с такой проводимостью описывается уравнением
х - ех(1 - х2) + х = 0 (15-1)
или
X = у, у
-х + е(1 - х )у.
При больших х - это уравнение осциллятора с нелинейным затуханием, однако
состояние равновесия в этой системе неустойчиво. Аналитически в общем
случае не удается найти решение уравнения (15.1), но
310
Глава 15
качественно его можно исследовать полностью. Как мы увидим, в такой
системе есть изолированная замкнутая траектория - предельный цикл,
соответствующий периодическим автоколебаниям, о которых говорили в
предыдущей главе.
Попытаемся сконструировать модель типа (15.1), но более удобную для
анализа. Для этого в линейную систему уравнений х = у, у = -х "введем
неустойчивость", добавляя в правые части слагаемые х и у (неустойчивость
будет очевидно проявляться при малых значениях х и у), и "введем
затухание", прибавляя слагаемые -х(х2 + у2) и -у(х2 + у2) (затухание
будет проявляться при больших значениях х и у). Сконструированная таким
образом система уравнений будет иметь вид
х = у + х - х(х2 + у2), у = -х + у - у(х2 + у2). (15.2)
Рассмотрим на плоскости ху окружность радиуса R, описываемую уравнением
х2 + у2 = R2. и для траекторий, проходящих через эту окружность (рис.
15.3 в), перепишем (15.2) следующим образом:
х = у - x(R2 - 1), у = -х - y(R2 - 1). (15.3)
Найдем интегралы движения для этой системы. Умножим первое уравнение на
х, второе на -у и сложим их:
dR2/dt = -2R2(R2 - 1). (15.4)
Из уравнения (15.4) сразу следует, что есть периодическое решение,
соответствующее R = 1, а именно
х2 + у2 = 1, х = const(? - to), у - sin(? - to)- (15.5)
Величина R2 = х2 + у2 характеризует амплитуду колебаний. Если Д < 1,
тогда dR/dt > 0, и значение R на траектории нарастает; если же R > 1, то
dR/dt <0 - все траектории снаружи входят в окружность радиуса R. Если R =
1, то dR/dt = 0, и (15.5) есть точное решение уравнения (15.4). Таким
образом, окружность х2 + у2 = 1 на фазовой плоскости является замкнутой
фазовой траекторией, к которой стремятся все соседние траектории, т. е.
предельным циклом (рис. 15.3 е). Поясним, почему этот предельный цикл
устойчив: при R > 1 все траектории идут внутрь области, ограниченной
окружностью радиуса R. но внутри этой области состояние равновесия (в
начале координат) неустойчиво, следовательно, траекториям, входящим в эту
область, некуда двигаться. кроме как наматываться на предельный цикл
(рис. 15.3 в).
15.1. Основные типы траекторий
311
Если в автоколебательной системе кроме нелинейной проводимости есть еще
нелинейные элементы типа нелинейных емкости или индуктивности, то фазовые
портреты могут выглядеть, например, как на рис. 15.4 а.
б)
Рис. 15.4. Фазовые портреты систем, в которых кроме нелинейной
