Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
(уменьшение) энергии частицы Ag = - A(mv2/2) = mvAv = vAp, связанное с
изменением ее импульса. Такое же соотношение вследствие галилеевой
инвариантности мы обязаны написать для волнового пакета. Если учесть, что
получающиеся изменения энергии Agy и импульса ДР волнового пакета
пропорциональны квадрату амплитуды, то Agy и ДР пропорциональны друг
другу, т.е. при пространственном резонансе gy = vP. Импульс Р направлен
вдоль вектора к, поскольку составляющая скорости частицы, поперечная по
отношению к к, может быть произвольной. Поэтому из условия ui = kv
следует, что Р = (к/u>)gy, откуда, в свою очередь, видно, что (УфР) = gy
(фазовая скорость волны есть отношение энергии волны к ее импульсу). Если
ввести амплитуду волны соотношением gy = о>|а2| = u>N, где N - число волн
в пакете с данным волновым числом к [4], то Р = кN. Используя два
последних выражения для gy и Р в (9.33), находим gy = uiN + kVTV = о>оN,
где uio = ui + kV - доплеровская частота.
Глава 10
Волны с отрицательной энергией. Связанные волны
10.1. Общие замечания
В предыдущей главе мы столкнулись с тем, что плотность энергии и
плотность потока энергии медленной волны пространственного заряда в
электронном пучке отрицательны (см. (9.31), (9.32)). На первый взгляд это
противоречит некоторым общим принципам. Действительно, например, на
возбуждение электромагнитного волнового пакета в среде с дисперсией нужно
затратить энергию; поэтому, когда "подкачка" энергии извне прекращается,
существующая в диспергирующей среде диссипация (хотя бы и малая) заставит
перейти всю энергию
(Wit)) = ^
(см. гл. 9) в тепло. Поскольку согласно принципу возрастания энтропии
тепло должно выделяться, а не поглощаться, получаем (см. [1])
(W(t)) > 0, d(u)?)/du> > 0, d(iu/i)/dui > 0. (Ю-1)
Однако сказанное верно лишь для равновесных сред. Для неравновесных же
сред соотношения (10.1) могут и не выполняться - в таких средах
действительно возможно возбуждение и распространение волн с отрицательной
энергией. Физический смысл этого будет ясен из дальнейшего.
Причины неравновесности могут быть самыми разнообразными [2], в частности
нескомпенсированные направленные движения, внешние поля, градиент
плотности, температуры и т. д. Примеры неравновесных сред хорошо
известны: электронный пучок, взаимодействующий с полями замедляющей
системы (ЛБВ, ЛОВ), плазма с многогорбой функцией распределения
заряженных частиц по скоростям (частным случаем является взаимодействие
электронного потока с плазмой),
10.2. Волны с положительной и отрицательной энергией
201
среды с отрицательной проводимостью или вязкостью (туннельные и
ганновские полупроводники), пограничный слой и другого рода сдвиговые
течения в гидродинамике. Почему в подобных средах возбуждаются волны с
отрицательной энергией? Как возбудить волну с энергией определенного
знака и каков результат взаимодействия связанных волн с энергиями разных
знаков? Ответы на эти вопросы мы и постараемся здесь дать.
10.2. Волны с положительной и отрицательной энергией
Понятие о волнах с отрицательной энергией впервые появилось в СВЧ-
электронике в виде известной теоремы Чу о кинетической мощности [21].
Именно Чу показал, что с медленной волной пространственного заряда в
электронном пучке связан поток "отрицательной кинетической мощности".
Следующий принципиально важный шаг в понимании волн с отрицательной
энергией был сделан П. А. Стэрроком [3], который, не конкретизируя
природы волн, показал, что в среде, движущейся со скоростью, энергия
быстрой и медленной волн, измеряемая неподвижным наблюдателем, выражается
соотношениями
И'в = И'0(1 + и/иФ), WM = WQ{l-ulvt), (10.2)
где Цф и -Уф - скорости волн в подвижной системе координат, a Wo -
энергия в этой системе. Из (10.2) видно, что при цф < и величина Wm
отрицательна, в то время как групповая скорость обеих волн положительна.
Более простой, но менее строгий, чем в [3], вывод формул (10.2) приведен
в книге [4]. В дальнейшем волны с отрицательной энергией широко
обсуждались как в периодической печати (см. обзор [5] и библиографию к
нему), так и на страницах книг [6. 7, 18, 22].
По физическому смыслу волны с отрицательной энергией - это такие волны, с
ростом амплитуды которых суммарная энергия системы "среда - волна"
уменьшается. Помимо волн в неравновесных средах отрицательной энергией
обладают также продольные электростатические волны, спектр которых
расположен в области аномальной дисперсии среды de/du) < 0; для них
средняя плотность энергии л) = = (и>/lQir){de/doj)(E)2 < 0. Поясним смысл
понятия "отрицательная энергия" на уже знакомом нам примере
распространения волн пространственного заряда в дрейфующем электронном
потоке. Линеаризованные уравнения задачи в использованных уже ранее
обозначениях
202
Глава 10
имеют вид
dv'/dt + v0dv'/dx - (е/т)Епз = 0, (10.3)
dp'/dt + p0dv'/dx + vodp'/dt = 0, (Ю.4)
dE"3/dx = 4np'. (10.5)
Пусть все переменные величины изменяются по закону /' ~
