Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
волн при и> - oji2 < шо\/п2 - щ/2. Ясно, что взаимодействие волн с
отрицательной энергией и волн с положительной энергией должно
сопровождаться неустойчивостью - обе волны будут расти по амплитуде.
10.3. Связанные волны, синхронизм. Нормальный и аномальный эффект Доплера
Линейные уравнения для связанных волн можно формально получить из
уравнений для связанных колебаний (в случае двух связанных
I /I", дБ 20г
___________________ 3
10
-10
-20
п
450 550 650 к0)в
208
Глава 10
волн - из уравнений (2.21)), если время заменить на координату, частоту -
на постоянную распространения: аналогом энергии осциллятора будет
мощность, распространяющаяся идоль волноведущей среды. Ограничимся
случаем слабой связи, когда феноменологический вывод уравнений связанных
волн элементарен. В отсутствие связи
dai/dx = -ik%ai, da,2/dx = - (10.27)
где ai и 02 нормированы так, что |aij2 и 10,212 - потоки мощности,
переносимые волнами, кг и &2 - постоянные распространения волн. Если
теперь связать волны, но считать связь слабой (кг и к2 остаются такими
же, как и в отсутствие связи), то
dai/dx = -ikiai + Сг2<12, da,2/dx = - г'А^ог + 02101, (10.28)
где С12 и С21 - коэффициенты связи волн (С12 и С21 малы по сравнению с^и
&2; полезно сравнить (10.28) с (2.21)). Предположим далее, что затуханием
волн можно пренебречь, т. е. в отсутствие связи кг и &2 - действительные
величины, кг.2 = - гч,2 - фазовые скорос-
ти несвязанных волн. В случае слабой связи общая средняя мощность
приближенно равна сумме мощностей в несвязанных системах:
Р = 2{±Н2 ± |а2|2} и const, dP/dx = 0. (10.29)
Знаки "+" и "-" соответствуют волнам с положительной и отрицательной
энергией.
В том случае, когда одна из волн - волна пространственного заряда в
электронном потоке, а другая - электромагнитная волна в замедляющей
системе, (10.29) как раз и есть математическое выражение теоремы Чу в
теории электронных СВЧ-приборов с длительным взаимодействием в так
называемом двухволновом приближении [12, 13]. В частности, для
дрейфующего электронного пучка теорема Чу о кинетической мощности имеет
вид Р = 2{|a6|2 - |ям|2} = const.
Поскольку |о,|2 = аа*, из второй формулы в (10.29) следует, что
dP , f da*i ^ *dai\ / da2 * da2
dx Г1 dx 1 dx ) ( 2 dx 2 dx
Подставляя (10.28) и комплексно-сопряженные им уравнения в (10.30),
находим
(±с12 =•= С2г)ага*2 + (±Ci2 ± с^г)а[аг = 0.
(10.31)
10.3. Связанные волны, синхронизм
209
Соотношение (10.31) справедливо для любых ai и аг. Поэтому
Ci2 = ±<л2 ПРИ Р = ±\ai\2 - \а2\2. (10.32)
с21 = TCi2 при Р = ±\аг\2 + \а2\2. (10.33)
Считая, что ai, аг ~ exp{iuit - ikx), и принимая во внимание
формулы (10.32) и (10.33), из условия совместности уравнении
(10.28) полу-
чаем следующие дисперсионные уравнения:
для одинаково направленных потоков мощности (одинаковые знаки перед |ai|2
и |a2j2 в первой из формул (10.29))
(к - w/vi)(k - u>/v2) = jci212, (10.34)
для противоположно направленных потоков мощности (разные знаки перед
|ai|2 и |а2|2)
(к - u>/vx)(k - u/v2) = -|ci2|2. (10.35)
В системе без потерь возможны четыре варианта связи взаимодействующих
волн (табл. 10.1, взятая из [23]). Дисперсионные характеристики
несвязанных волн представлены штриховыми линиями, а сплошные линии
соответствуют возможным вариантам связи.
Проиллюстрируем таблицу конкретными примерами из высокочастотной
электроники, основываясь на теории взаимодействия прямолинейного
электронного потока с бегущей электромагнитной волной (см. гл. 7).
Обратимся к уравнению возбуждения волноведущей системы током электронного
пучка:
д Е - LO 1-1 1 ( LO
дх+%Е=-Цщ) Ш ^
и к уравнению для тока, сгруппированного в пучке под действием поля
волноведущей системы:
О I . ел - СО 01 (СО Я J г -СО 1о 11 {Л (Л
^ + = (10'37)
Если 7(0) = 0 и (д1 /дх)х~о = 0, то (10.37) можно переписать в виде
X
4х) = j Е(0 exp[~i(ke - kq)(x - С)] d( -
О
х
- J Е(С) ехр[-г(&е + *,)(* - ()} d( = 1м(х) + 1б(х), (10.37)
У'Я
о
210
Глава 10
где ке = w/vo, кд = cag/v0, индексы "м" и "б" соответствуют интегралам,
связанным с возбуждением медленной и быстрой волн пространственного
заряда. Тогда вместо (10.37) или (10.38) можно написать два уравнения
первого порядка:
dIM/dx + i(ke + kq)IM = -[ке10/(4:V0kq)}E(x), (10.39)
dl6/dx + i(ke - kq)I6 = [keI0/(4v0kg)]E(x). (10.40)
Условия для резонансного взаимодействия
ке + kq = ко = ш/Уф или Уф = V0/(l + UJq/u>) (10.41)
соответствуют условиям синхронизма электромагнитной волны в замедляющей
системе и быстрой волны пространственного заряда в пучке, а условия
ке - кд = ко = ш/Уф или Уф = Уо/(1 - шд/ш) (10.42)
соответствуют условиям синхронизма волны в замедляющей системе и
медленной волны пространственного заряда. При выполнении условий (10.41)
или (10.42) в системе уравнений (10.36), (10.39) и (10.40) можно вместо
трех уравнений оставить только два. В этом случае возможны следующие
взаимодействия (см. табл. 10.1) и соответствующие им приборы.
1. Взаимодействие быстрой волны пространственного заряда с прямой волной
