Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
системы уравнений приводит к дисперсионному уравнению (см. [6])
S - символ Кронекера.
В случае изотропной плазмы без магнитного поля D = еЕ и для продольной
волны из (8.17) находим, что
fc2E-k(kE) - = 0.
/-i-
с
(8.17)
Det к Sap какр 9 ?"/3 - 0.
с~
(8.18)
(8.19)
а для поперечной волны
(8.20)
186
Глава 8
Выразим e_i_ из уравнения движения электронов dvx/dt = (е/те)Е±. Тогда =
[е/{imeu>)]Ex- Поэтому для плотности тока имеем
jx = ep0vx = -iw2^-. По определению D = ехЕх = Ех + 4я-ф^. Та-47ги> ги)
ким образом,
?Х = 1 - (8.21)
ОТ
Приравнивая правые части соотношений (8.20) и (8.21), получаем
и2 = ш2ре + к2с2. (8.22)
Итак, в ионосфере нф = c/yjl - ш2е/ш2, и vTp = Cyj 1 - ш2е/и>2, т. е. нф
всегда больше с, vTp < с, а нфг;Гр = с2.
Последнее соотношение не является столь общим, как часто считают. В
частности, для различных линий передачи, используемых в технике и
электронике СВЧ, связь между нф и vrp имеет вид (см. [10]):
V^ = k{^l%) ' (8'23)
где т2 = к2 - (З2; к - волновое число в среде; /3 - фазовая постоянная в
линии передачи; е, р - относительные диэлектрическая и магнитная
проницаемости среды; верхний знак соответствует к > /3 (быстрые волны при
е = р = 1), нижний соответствует к < /3 (медленные волны: т2 = /З2 - к2).
Из (8.23) следует, что v$vrp = с2, только если ? = р = 1 и dr/dk = 0. В
частности, dr/dk = 0 для металлического волновода без потерь с однородным
диэлектрическим заполнением, т. е. УфУГр = с2/(ер). Для замедляющих
систем типичны значения угр и Уф, меньшие скорости света в среде.
4. Обратимся к внутренним волнам в стратифицированной жидкости (см. гл.
5). Пусть среда безгранична и частота Вяйсяля N = const. Тогда
справедливо уравнение (5.62): sin# = p(u>/N). Предположим для
определенности, что волна распространяется в сторону положительных z, т.
е. р = +1. Воспользуемся для определения групповой скорости уравнением
(5.62) или. что тоже самое, (5.61): ш = N?/k = =
N(k2x+k2yyl21(к2х+к2у+к1)'12 , считая, что скорость vrp = xq9cj/дкх + +
уодш/дку + z0dw/dkz, где xq. уо, zo - соответствующие единичные
8.2. Групповая скорость волн в некоторых сплошных средах
187
векторы [3]. После выполнения дифференцирования и простых преобразований,
получаем (см. [7])
-р=^(?-^)- (8'24)
Нетрудно видеть из (8.24), что vrpk = 0, т. е. vrp направлен
перпендикулярно к (рис. 8.5). При 5 4 0, s 0 и u " (1 из (5.37) имеем
dY(z)/dz + [t;2/(ш2рт)\2? = 0, так что при V(z) = % exp[i(u)t - kzz)] для
давления находим р = (tkzu)2р0о/?2) exp[i(ivt - кг)]. Следовательно,
вектор Vp = -гкр направлен по к. Для внутренних волн из (5.30) и (5.31)
следует, что Vqx = кх/ш и Voy = ку/ш. С учетом (5.19) и этих соотношений
для скорости частиц получим
/ С \
v = + V^Jwz, vz = -iv0exp(iujt - ikr). (8.25)
Но из (8.25) сразу имеем, что vk = 0, т. е. частицы движутся по
траекториям, перпендикулярным к в плоскости, где лежат вектор к и ось г.
Рис. 8.5. К определению групповой скорости внутренних волн в
стратифицированной жидкости [7]: а - волна бежит вверх, поток энергии
направлен вниз (ку = 0, р = 1); б- волна бежит вниз, поток энергии
направлен вверх (ку = 0. р - -1)
Используя выражения для давления р и скорости частиц v из (8.25), для
средней по времени плотности потока энергии Р = V4(pv* + к. с.) легко
получаем соотношение
Р = ^PoovlN2vrp.
(8.26)
188
Глава 8
Аналогично для средней плотности энергии W = y2/9oovv* находим
W = jp0ov20N2.
(8.27)
Из (8.26) следует, что поток энергии направлен по вектору групповой
скорости (рис. 8.5), а скорость распространения энергии в среде V = Р jW
в точности равна групповой скорости.
Докажите сами, что если дно наклонное, то выполняется следующий закон
отражения волн: угол падения равен углу отражения, но по отношению не к
нормали, а к вертикали поверхности дна (рис. 8.6). Для того чтобы
отраженная волна компенсировала перпендикулярную границе составляющую
скорости частиц в падающей волне, необходимо выполнение равенства
Рис. 8.6. К отражению волны от наклонного дна [7]
кпад sin(0 - Ф) = fcoTp sin(# + Ф):
когда кпад и нормаль к границе лежат в плоскости рис. 8.6 (докажите
это!). Отсюда следует любопытный вывод: при отражении меняется длина
волны. Противоречия здесь нет: при данной частоте длина волны может быть
любой (см. гл. 5).
Для волн Россби из уравнения (5.83) легко показать, что при ку = О
фазовая и групповая скорости волны направлены в разные стороны. В общем
случае, когда ку ф О,
ди>
дка
ди>
дк,
? к1 + К '
/3 2кхку
ёч + р'
и для групповой скорости получаем
(3
Vpp= ^2 (х°cos ~ у°sin 27У
т.е. vrp направлено от конца вектора ? к центру круга (5.83), у - угол
между ? и осью кх.
Приведенные примеры показывают, что для сред с анизотропной дисперсией,
т. е. для сред с дисперсионным соотношением
8.2. Групповая скорость волн в некоторых сплошных средах
189
oj = ш(кх, ky, kz), вектор групповой скорости ведет себя довольно
нестандартно. Кажется ясным, что с точки зрения кинематики волн понятие
