Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из этой системы уравнений находим, что
V°x = ~ТГ1-271^ + suj2Poo~ • (5.30)
V0y = "71-------57 S kv + iclk* + iqsu2p00- ¦
(5.31)
u)(l - <r)
98
Глава 5
Наконец, из уравнений (5.22) и (5.23), используя (5.29)-(5.31), получаем
два уравнения для У(г) и t?(z):
skx - iqsky'
d&>{z)
dz
dV(z)
~"37~
+
+
g___________________
С2 1 - q2
skx + iqsky
&(*> + Poo ( 4 4?2 - ) П*) = 0,
1 ~q*
g
+
1 -q2
?2
с и! (1 - g2)
(5.32) &{z) = 0.
(5.33)
где ?2 = k2x + fc2.
Учтем теперь, что частота щ звуковых волн намного превосходит ft и N;
сила тяжести для этих волн в океане тоже не играет роли. Поэтому в (5.32)
и (5.33) можно пренебречь слагаемыми, содержащими s, q ~ ft, N и g. Такое
пренебрежение дает
d&{z)
+ роо^2^ (z) -
dt(z)
dz ' ' v~' dz
Исключая У(г), приходим к уравнению d2S?{z)
Роо<^
-&{z) = 0. (5.34)
dz2
+
lc2(z)
-e
&>(z) = 0,
(5.35)
которое является основным в акустике океана.
Хотя c(z) изменяется мало с глубиной, наличие, например, минимума c(z) на
какой-то глубине приводит к образованию подводного акустического
волновода, по которому звук низкой частоты от источников (для низких
частот поглощение в воде мало) может распространяться на расстояния до
нескольких десятков тысяч километров [3, 23].
5.4. Гравитационные волны в несжимаемой
жидкости. Внутренние волны. Волны Россби
Заметим сразу, что в предположении несжимаемости с2
dp
-? ОО
уравнения (5.32), (5.33) могут быть упрощены и приведены к виду
Qap skx - iqsky
+ Роо
dz 1 - g2
dy skx + iqsky
-4ft2
- N2 \y = 0,
dz
+
1 - g2
У +
u2poo(l - q2)
¦&> = 0.
(5.36)
(5.37)
5.4. Гравитационные волны в несжимаемой жидкости
99
Исключив ЗР, приходим к уравнению
(5.38)
Гку+<?% + ?-(qi + a*)? (1-я2)2
Для анализа гравитационных волн на поверхности жидкости, как мы сейчас
убедимся, не существенны ни стратификация жидкости, ни вращение Земли, т.
е. в (5.38) можно отбросить слагаемые, содержащие N, q и s, и мы придем к
уравнению
с граничными условиями (5.27), (5.28), которые при сделанных
предположениях записываются в виде
Справедливость используемых приближений мы покажем с помощью соображений
размерности. Рассмотрим поверхностные волны, предполагая, что в состоянии
равновесия поверхность жидкости горизонтальная. Если ее вывести из этого
состояния, то для возникновения волн на поверхности жидкости необходимо
существование возвращающей в положение равновесия силы и силы инерции,
из-за которой жидкость "проскакивает" положение равновесия. Какая сила
может заставить появившийся на поверхности жидкости "горб" исчезнуть,
чтобы поверхность опять стала горизонтальной? Такой силой может быть,
например, сила тяжести Fg ~ g или сила поверхностного натяжения Fa ~ а (а
- коэффициент поверхностного натяжения). Обсудим действие этих сил
отдельно.
Падая вниз под действием силы тяжести, "горб" по инерции провалится ниже
положения равновесия; рядом с ним будет вытеснен другой "горб" и т.д. В
жидкости начнет распространяться волна, которая и называется
гравитационной. Анализ размерности позволяет найти характер зависимости
фазовой скорости волны г>ф от ее длины А. Величина Нф должна зависеть от
Fg ~ g. от инерции колеблющейся жидкости, мерой
(5.39)
V(z)\x=_H = |
?2 dz
2=0
= 0.
(5.40)
Здесь учтено, что d'Y(z)/dz + (?2/и2роо)??(z) = 0 (см. (5.37)).
100
Глава 5
которой является ее плотность р, и может зависеть от глубины жидкости Н.
Таким образом. Тф = /(A, g, р. Н). Сразу видно из соображений
размерности, что плотность р не будет входить в окончательную формулу,
поскольку только в р входит размерность массы. Физически это связано с
тем, что и вес "горба", возвращающий его к положению равновесия, и масса
"горба" - его инерционность - пропорциональны р. Размерности Ли Н
одинаковы, размерность времени содержится только в g. Поэтому для
скорости распространения волны можно написать две равноправные формулы:
Щ = у/gHfi^y v^ = y/g\f2 (у). (5.41)
Пусть Л <С Я; в этом случае говорят о волнах на глубокой воде или о
коротких волнах, которые движутся лишь в поверхностном слое жидкости
(толщина слоя порядка Л). Тогда, очевидно, скорость распространения волны
не должна зависеть от глубины жидкости, т. е. fx(X/H) = = сх(Л/Н)1!2, и,
следовательно,
Уф = Cl \/\g. (5.42)
Очевидно, если считать, что скорость Тф равна /(Л, g: р) и не зависит от
н, мы сразу придем к формуле (5.42).
Когда же Л > Я (волны в мелкой воде или длинные волны), скорость
распространения волны не должна зависеть от Л, поскольку движение всех
частиц в тонком слое жидкости практически одинаково. В этом случае в
(5.41) f2(H/X) - с2(Н/Л)1/2 и
Уф = C2\fgH. (5.43)
Поскольку к = и>/Уф, из (5.42) и (5.43) получаем следующие законы
дисперсии для гравитационных волн в двух предельных случаях:
кН 1, ш(к) = С\ у/2ngk - глубокая вода, (5.44) кН <$; 1, и>(к) = с2к\/gH -
мелкая вода. (5.45)
Проведенный анализ не строг. Мы не можем найти в его рамках Ci и с2. Для
их определения воспользуемся уравнениями (5.39) и (5.40). Если решение
