Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
5.2. Уравнения гидродинамики
91
к определенным точкам пространства в момент времени t. Также надо
понимать и величины Sup.
Существование волн в жидкости, находившейся первоначально в стационарном
состоянии, обусловлено возмущением жидкости и конкуренцией между силой,
стремящейся возвратить жидкость в исходное состояние, и силами инерции,
которые заставляют жидкость проскочить его. Например, для волн на воде
возвращающими являются сила тяжести и сила поверхностного натяжения, для
вращающейся жидкости - сила Кориолиса, для проводящей жидкости - сила
действия магнитного поля.
5.2. Уравнения гидродинамики. Дисперсионное уравнение для звуковых волн
Ограничимся рассмотрением идеальной жидкости. Идеальной называется
жидкость, при движении которой вектор напряжения в жидкости
перпендикулярен любому элементу поверхности независимо от того, как он
ориентирован в пространстве(т. е. выполняется закон Паскаля).
Математически это означает, что давление в жидкости есть скаляр, а не
тензор [2]. В этом случае в жидкости отсутствуют сдвиговые силы, в
частности силы вязкости.
Согласно второму закону Ньютона уравнение движения элемента объема dV
жидкости плотности р можно записать в виде p(dv/dt)dV = = dF, где v -
скорость рассматриваемого элемента, dF - сила, действующая на каждый
элемент объема dV. На любой выделенный объем V жидкости со стороны
окружающей жидкости действует сила, равная интегралу от давления, который
берется по поверхности выделенного объема, т. е. - §pdS. (Предполагается,
что вектор dS равен площади элемента поверхности по абсолютному значению
и направлен по внешней нормали к ней; отсюда знак минус перед силой.) Но
по интегральной теореме о градиенте - §pdS = - J Vp dV. Кроме того, на
выделенный
V
элемент может действовать внешняя заданная сила с плотностью равн. Таким
образом, dF = -VpdV + paB" dV, и уравнение движения становится таким:
P^ = -Vp + paB!i. (5.1)
Учитывая в (5.1), что dv/dt = dv/dt + (vV)v, приходим к основному
92
Глава 5
уравнению гидродинамики - уравнению Эйлера:
p(fjjr + (vV)v) = - Vp + а в"р.
(5.2)
Очевидно, что имеет место закон сохранения массы f pdV рас-
v
сматриваемого объема: изменение во времени массы в данном объ-
Это - уравнение непрерывности. Вектор j = pv называют плотностью потока
жидкости.
В уравнениях (5.2) и (5.4) пять неизвестных: плотность, три составляющие
скорости и давление, т. е. одного уравнения не хватает. Таким уравнением
является уравнение термодинамического состояния.
Будем считать, что теплообмен между отдельными элементами жидкости
отсутствует (жидкость течет с такой скоростью, что отдельные ее участки
не успевают обмениваться теплом друг с другом) и что она не обменивается
теплом с окружающими телами, с которыми соприкасается. Такое допущение
означает, что движение происходит адиабатически в каждом элементе
жидкости, т. е. энтропия S, отнесенная к единице массы жидкости, остается
постоянной при перемещении этого, элемента в пространстве. Таким образом,
Умножим (5.4) на S, (5.5) - на р и, сложив полученные соотношения,
получим Sdp/dt + pdSfdt + Sdivpv + pvVS = 0. Используя в последнем
соотношении формулу div(af) = adivf + fVa, приходим к уравнению
непрерывности для энтропии
v
через поверхность, ограничивающую этот объем, т. е.
(5.3)
или в дифференциальной форме
(5.4)
(5.5)
(5-6)
5.2. Уравнения гидродинамики
93
где pS~v - плотность потока энтропии. Если в начальный момент времени
распределение энтропии жидкости пространственно однородно, то
в любой момент времени. Такой адиабатический процесс, происходящий при
постоянной энтропии, называется изэнтропийным. В этом случае уравнение
состояния есть просто функциональная зависимость между плотностью и
давлением: р = р(р) (или р = р(р)), откуда.
Линеаризуя уравнения (5.2), (5.4) относительно малых возмущений р', v' и
р' плотности, скорости и давления соответственно на фоне их равновесных
значений ро, v0 и р0, получаем (считаем ав" = 0)
В случае неподвижной среды (v0 = 0), вводя потенциал скорости v = Vip,
получаем для возмущения давления р' = -p0dip/dt. В результате из второго
уравнения (5.9) следует известное волновое уравнение
где с = \/{др/др)$ - скорость звука. Очевидно, что в декартовых
координатах волновому уравнению удовлетворяет и каждая из трех компонент
скорости (чтобы убедиться в этом, надо применить к волновому уравнению
операцию grad), и давление.
Если все переменные в волне зависят лишь от одной из декартовых координат
(плоская волна), то уравнение (5.10) переходит в уже обсуждавшееся в гл.
4 одномерное уравнение d2(p/dt2 - с?д2р/дх2 = 0, которое имеет общее
решение в виде суперпозиции двух встречных плоских волн:
S = const
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
<р{х, t) = fl{х - ct) + f2(x + ct).
94
Глава 5
Поскольку в рассматриваемом приближении дисперсии у звуковых волн нет, то
закон дисперсии выглядит так:
ui = ±ск. (5-11)
Бегущие звуковые волны произвольной формы оказываются стационарными, т.
