Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
струны, закрепленной на концах, и(0, <) = 0 и u(l. t) = О (I - длина
струны). Из (4.45) получаем условие для амплитуд встречных волн Ф1 = - Ф2
и ограничение на спектр волновых чисел sin кп1 = О, откуда
Нетрудно проверить, что в любом одномерном резонаторе с предельным
отражением на концах могут реализоваться лишь элементарные решения,
удовлетворяющие (4.46), т. е. в резонаторе укладывается целое число
полуволн. В кольцевом резонаторе граничными условиями служат условия
периодичности для всех переменных. Например, для замкнутой в кольцо линии
передачи это U, I(x, t) = U, I(x + I, t), откуда следует условие exp(ikl)
= 1, т. е. спектр
Физически это условие совершенно очевидно - в кольцевом резонаторе могут
существовать лишь периодические в пространстве волны, которые
укладываются в нем целое число раз.
Зная дисперсионное уравнение среды, заполняющей резонатор: к) = 0, и
спектр волновых чисел (4.46) или (4.47), мы можем получить уравнение
относительно одной переменной: Д(ш) = D(u>, кп) = = 0, определяющее
спектр нормальных частот резонатора. Именно это уравнение и есть аналог
характеристического уравнения для сосредоточенных систем. Например, в
случае среды без дисперсии при идеальных отражениях на концах кп = 7гп/1
и и>п = 7гп/(1л/ЬС) = кп/(VLC) (рис. 4.21). Каким при эквидистантном
спектре к будет спектр и>. если среда обладает дисперсией? Качественное
поведение спектра, зная дисперсионные характеристики, можно получить с
помощью элементарного графического построения, которое ясно из рис. 4.22
и 4.23.
В среде с дисперсией в области низких частот спектр собственных частот
начинается с частоты (рис. 4.22), сгущается вблизи этой критической
частоты; далеко от и>о спектр почти эквидистантный. При
кп = -¦ (п - целое).
(4.46)
(4.47)
84
Глава li
a, a>2 a>3 a>4 "со
Рис. 4.21. Эквидистантный спектр собственных частот, соответствующий
эквидистантному спектру волновых чисел, в среде без дисперсии
Рис. 4.22. Неэквидистантный спектр собственных частот, соответствующий
эквидистантному спектру волновых чисел, в среде с дисперсией в области
низких частот
стремлении ш к и>о спектр становится непрерывным. В среде с дисперсией в
области высоких частот картина такая же, но спектр становится редким при
приближении к нулевой частоте (рис. 4.23 а). Если имеются две критические
частоты, то имеются и две области сгущения спектра.
р,(со)
LI
а)
б)
Рис. 4.23. Неэквидистантный спектр собственных частот, соответствующий
эквидистантному спектру волновых чисел, в среде с дисперсией в области
высоких частот (а) и плотность числа осцилляторов для низкочастотной
ветви (б)
Заметим, что когда речь идет о нахождении собственных частот длинных
линий, представленных эквивалентными схемами, с произвольными граничными
условиями на концах, то спектр волнового числа кп находится из известного
характеристического уравнения tgЫ = iY(Z0 + Z{)/{ 1 + ZqZ{Y2), где У -
характеристическая проводимость длинной линии, Zq и Zi - нагрузки при х =
0 и х - I соответственно [8, 3]. Кроме рассмотренных случаев отметим еще
один: линия
4.5. Формальный способ получения дисперсионного уравнения 85
короткозамкнута на одном и разомкнута на другом конце, т. е. Zq = О, Zi -
оо (или Z0 = оо, Z\ = 0), тогда кп = п(2п - 1)/(21).
Таким образом, если среда, заполняющая резонатор, обладает дисперсией, то
даже при эквидистантном спектре к-плотность р(и>) нормальных мод в
различных участках спектра будет различной. Это дает один из способов
измерения дисперсионных свойств одномерных сред, особенно ценный,
например, при исследовании цепочек линейных полимеров. Допустим, мы
смогли равномерно возбудить все степени свободы цепочки, тогда снятый
экспериментально спектр ее колебаний будет просто суперпозицией
плотностей спектральных распределений, соответствующих различным
дисперсионным ветвям. Для каждой ветви плотность спектрального
распределения (плотность числа осцилляторов) вводится формулой
р(и) du = const • dk. (4.48)
Здесь учтено, что число мод в интервале (к, к + dk) не зависит от к. Для
продольных колебаний цепочки из тождественных молекул с точностью до
нормирующего множителя из (4.48) мы имеем
Р,И = const ¦ 1 = ^(и&" - ^2)"1/2- (4.49)
Этот спектр представлен на рис. 4.23 б. Аналогично нетрудно построить
плотность спектрального распределения pi(u>) цепочки из чередующихся
легких и тяжелых молекул [15]. Если возбуждены и продольные, и поперечные
колебания цепочки, то к спектру pi(w) (см. (4.49)) следует добавить
спектр поперечных колебаний, определяемый из дисперсионного уравнения
<х(к) = Bs'm2{ka/2). Плотность спектрального распределения частот полного
спектра приведена на рис. 4.19 в (см. [15]).
Упомянем о прямой пространственно-временной аналогии. Рассмотрим
распространение бегущей волны + тт = 0 в одномерной
сф at ох
среде (иф - постоянная фазовая скорость волны в среде), на которую
воздействует внешняя распределенная сила G(x.t) = G(x) exp(iait). Тогда
