Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
природы (физической, биологической и т.д.). Основываясь на анализе
моделей, теория колебании и волн устанавливает общие свойства в реальных
системах. Содержание теории заключается в том, что она позволяет
определить связь между параметрами системы и ее колебательными или
волновыми возможностями в случае тех или иных эффектов.
Применение теории колебаний и волн в каждом конкретном случае
предполагает определенную идеализацию реальной системы - по-
12
Введение
строение модели и написание для нее соответствующих уравнений
(обыкновенных дифференциальных, в частных производных, разностных и
т.д.); принимаемые идеализации для одних и тех же систем могут быть
различны в зависимости от того, об исследовании какого явления идет речь,
т. е. модель должна соответствовать не только системе, но и явлению.
Например, когда речь идет только об условиях раскачки качелей при
периодическом изменении их длины, модель может быть совсем простой -
линейный осциллятор с переменной частотой. Когда же требуется определить
условие стабилизации колебаний, их форму и т.д., необходимо
усовершенствовать модель, учитывая (как минимум) зависимость частоты
колебаний от их амплитуды. Таким образом, мы приходим к модели
нелинейного осциллятора с периодически изменяемым параметром. Другой
пример - морские волны. Их также можно описывать с помощью линейной
модели (волнового уравнения для волн с дисперсией), если мы интересуемся
поведением волн не слишком большой амплитуды далеко от берега. Для
описания же опрокидывания волны и образования бурунов мы, конечно, должны
строить нелинейную модель.
Подчеркнем еще раз, что на основе сложившихся представлений теории
колебаний и волн можно связать те или иные явления в конкретной системе с
ее характеристиками, фактически не решая задачи. Например, когда речь
идет о преобразовании энергии одних колебаний в другие в слабо нелинейной
системе или среде, будь то волны на воде, электромагнитные колебания в
ионосфере или колебания маятника на пружине, можно сказать сразу, что
такое преобразование возможно только в случае, когда выполнены
определенные резонансные условия между собственными частотами подсистем.
Впервые наиболее ясно мысль о колебательном единстве, казалось бы,
совершенно разных явлений высказал Рэлей в своей "Теории звука", в
которую он поместил дополнительную главу об электрических колебаниях,
подчеркивая, что оба вида малых колебаний - звуковые и электрические - в
определенном смысле одинаковы. Книга Рэлея - это фактически первый курс
теории колебаний и волн в линейных системах - "линейных колебаний".
Однако линейные колебания - колебания малой амплитуды, для которых
характерен аддитивный отклик на аддитивные воздействия (выполняется
принцип суперпозиции), по существу, есть результат приближенности
описания. Уравнения линейных колебаний получаются в результате
линеаризации исходной модели какого-либо выделенного состояния или
движения исследуемой системы или среды. При более об-
Введение
13
щем рассмотрении оказывается, что большинство явлений нашего мира
нелинейно. Первой из наук с этим столкнулась небесная механика. Было
обнаружено, что период обращения планет зависит от их энергии (третий
закон Кеплера). Нелинейность - неотъемлемое свойство любой системы,
эволюционирующей во времени. В частности, всякий переход из одного
квазиравновесного состояния в другое связан с проявлением нелинейности -
возникновение и эволюция Вселенной, рождение, жизнь и смерть звезд,
слияния и распады частиц, их рождение из вакуума, наконец,
самопроизвольное образование сложных структур, приведшее в конечном итоге
к возникновению органической жизни. Сейчас исследование нелинейных
проблем привлекает большое внимание не только механиков, физиков, но и
биологов, химиков, экономистов и т. д. К числу "нелинейных наук" сейчас
относятся и теория элементарных частиц, и неравновесная термодинамика, и
динамика атмосферы и океана, и многие другие области современной науки.
Уже в первые десятилетия нашего века нелинейные проблемы обсуждались не
только применительно к механике (задача трех тел, волны на воде и т. д.)
и к акустике, но и в связи с исследованием свойств твердых тел (учет
ангармоничности колебаний атомов в кристаллической решетке в теории
теплопроводности). Нелинейные задачи ставились зарождающейся
радиотехникой (детектирование и генерация колебании); они непрерывно
появлялись в других разделах науки и техники. Однако "нелинейные
трудности" в этих различных областях казались совершенно специфическими и
не связанными друг с другом. И лишь в 20-30-е годы в значительной мере
благодаря деятельности Леонида Исааковича Мандельштама - создателя
советской школы "нелинейных физиков" - среди специалистов различных
областей физики и техники начало вырабатываться "нелинейное мышление", и
они начали перенимать нелинейный опыт друг у друга. Общность нелинейных
явлений различной природы и общность их моделей, образов и методов
