Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
где pi и р2 - корни характеристического уравнения р2 + 2ур + аз$ = 0.
Расположение его корней на комплексной плоскости р однозначно определяет
тип состояния равновесия системы, а следовательно, и движение осциллятора
(рис 1.6).
р" р" р" р" р"
-А /
р' \ р' ч р1 р' р'
а) б) в) г) д)
Рис. 1.6. Расположение корней на комплексной плоскости р - р 4- ip" и их
связь с типом состояния равновесия системы: а - 7 = 0, pi, 2 = ±го>о -
центр; б - о>о >7 > 0, pi, 2 = -7 ± г 7/^0 ~ 72 - фокус; в - 7 = о>о,
pi,2 = -7 - фазовый портрет качественно изменяется; г - 7 > ujq, р 1,2 =
= -7 ± yV - и>$ - узел; д - 7 = 0, pi, 2 = ±ш0 - седло
В случае 7 = 0 корни характеристического уравнения чисто мнимые; по мере
увеличения 7 (7 ф 0) они начинают двигаться в левой полуплоскости,
оставаясь комплексно-сопряженными. При ф = и>2 корни сливаются на
действительной оси, а при дальнейшем возрастании 7 распадаются на два
действительных корня. Положению равновесия типа "седло" соответствуют два
действительных корня разных знаков. Изменение знака 7 приводит к смещению
корней в правую полуплоскость, и состояния равновесия становятся
неустойчивыми. На рис. 1.7 приве-
28
Глава 1
Рис. 1.7. Разбиение плоскости параметров 27, шо на области с различным
типом состояний равновесия (расположение корней на комплексной плоскости
и соответствующие фазовые портреты)
дено разбиение плоскости параметров 27, ujq на области с различным типом
состояний равновесия. Эта картинка дает почти все, что нужно знать о
состояниях равновесия на плоскости.
1.3. Резонанс. Действие непериодической внешней силы на осциллятор
До сих пор речь шла об автономном осцилляторе. Пусть теперь на линейный
осциллятор действует периодическая внешняя сила. Исходным для анализа
будет уравнение
х + 2ух + uJqX = Fq cosuit, (1-26)
где Fo - постоянная амплитуда внешней силы, oj - ее частота.
Явление резонанса состоит в резком возрастании амплитуды установившихся
колебаний, которое наступает при приближении частоты и) гармонического
внешнего воздействия к собственной частоте а>о осциллятора (в более общем
случае - к частоте иц одного из собственных колебаний анализируемой
системы).
1.3. Резонанс. Действие непериодической внешней силы на осциллятор 29
Рассмотрим снова осциллятор без затухания (7 = 0). Общее решение
уравнения (1.26) в этом случае имеет вид
x(t) = Acoscuot + .Bsinwoi + pcoscut,
где p = F0/(u)0 -ui2). Выберем в качестве начальных условий при t = О
х(0) = 0 и х(0) = 0. Тогда А = -р, В = 0, и движение такого неавтономного
осциллятора будет описываться функцией
р0
х№) =---------9--------^(cosuit - cosc^oi)-
Wq - UJ
Проследим, как происходит нарастание амплитуды колебаний осциллятора при
резонансе, когда ш -> ujq. В этом случае u>g - и)2 = (ц>о + и>)х х (ц>0 -
w) ~ 2w0(wo - w) и
Fo sin [(w" - ш)*/2] .
x(t) = s ---------------------tsmuj0t.
v ' 2loo (w0 - u)t/2
При точном резонансе x(t) = (Fo/2wo)t sin^ol, т. e. при периодическом
воздействии амплитуда колебания ведет себя как непериодическая функция
времени (рис. 1.8). Множитель t соответствует секулярному росту
амплитуды, а скорость ее нарастания зависит от величины Fq.
Рис. 1.8. Поведение решения уравнения (1.26) при резонансе (а) и
осциллограмма при 7 = 0 (б)
Секулярный рост амплитуды - одно из простейших проявлений неустойчивости
системы по отношению к внешним воздействиям. Та-
30
Глава 1
кая неустойчивость есть следствие идеализации исходной модели. В
зависимости от ситуации модель должна учитывать либо нелинейные эффекты
(система остается консервативной), либо линейную диссипацию (вязкость,
трение, сопротивление и т.п.). В первом случае нелинейные эффекты
приводят к сдвигу частоты и постепенному выходу из резонанса; это можно
увидеть, если "подправить" уравнение (1.26) при 7 = 0 следующим образом:
где и)^(х) = ах + (Зх2 + ... ; а, /3, р. - постоянные. Анализ нелинейной
задачи мы отложим до гл. 13. Сейчас же рассмотрим резонанс в осцилляторе
с конечной добротностью. Используем метод комплексных амплитуд, т. е.
будем считать, что все переменные - величины комплексные, а в решении
примем во внимание лишь их действительную часть. Тогда уравнение (1.26)
запишется в виде
где х = Re ж. Если подождать достаточно долго, собственные колебания
осциллятора затухнут; поэтому посмотрим лишь на вынужденное решение х =
pexp[i(wt - в)], где р и в нужно определить. После подстановки решения в
(1.27) и разделения действительной и мнимой частей получим
Резонансная кривая, изображенная на рис. 1.9, соответствует
установившемуся стационарному процессу и определяет зависимость амплитуды
установившихся колебаний от частоты внешней силы. Следует отметить, что
теперь максимальная амплитуда колебаний достигается не при точном
совпадении собственной частоты осциллятора с частотой вынуждающей силы, а
смещается влево по оси частот на величину, зависящую от у (рис. 1.9).
Действительно, если uiq = const, то, продифференцировав выражение для р1
