Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
теоремы. В системе Герца это различие еще не является совершенно четким
и, кроме того, он вводит четвертый элемент - гипотезу. При всем том,
одной своей новизной, этот способ изложения оказывается полезным - он
заставляет нас размышлять, отказываться
56
Идеи Герца в механике
от прежних ассоциаций идей. Мы пока не можем охватить взором целое
здание; хорошо уже, если есть новая перспектива, открывающаяся с новой
точки зрения.
ЗАМЕТКИ О ГИПОТЕЗЕ ЛАПЛАСА
Bulletin astronomique, t. 28, p. 251-266 (juillet 1911)
1. Известно, что в космогонической гипотезе Лапласа предполагается,
что первичная туманность, стягиваясь, образует ряд колец, из которых
затем происходят различные планеты. Можно спросить себя, каковы условия
устойчивости этих колец и какова причина их разрушения. Роша определил
условия их образования следующим путем. Необходимо предположить, что
туманность очень сильно уплотнена к центру и состоит из отчетливо
выраженного сферического ядра и очень разреженной атмосферы; сравнение
моментов вращения безусловно заставляет нас делать такие предположения.
Итак, пусть М - масса ядра, и! - скорость вращения, предполагаемого
равномерным, г - расстояние от точки х, у, z до начала координат. За ось
вращения примем ось х. Уравнение свободной поверхности атмосферы будет
+ 2/2) + / 2 М 2 ^ = С' л/х2 + у2 + Z2
поверхность вращения с меридианальным сечением
+ -7^=2 = с¦ (1)
z \ х + у
Для некоторых значений постоянной С эта кривая имеет две двойных точки, и
тогда происходит образование колец из атмосферы.
Если придать С эти значения, у кривой будут бесконечные ветви, так что
если уравнение (1) оставалось бы в силе, то отделившиеся части
центральной массы не смогли бы образовать кольца и улетели бы на
бесконечность. Однако ясно, что эти части не сумели бы сохранить
неизменной угловую скорость ш, которая до этого момента предполагалась
постоянной. Став изолированными, они не примут больше участия
58
Заметки о гипотезе Лапласа
в общем вращении, и их угловая скорость будет уменьшаться согласно закону
площадей по мере того, как они будут удаляться от оси.
Таким образом, по меньшей мере у двойных точек нельзя рассматривать ш как
постоянную, и маловероятно, что эта равномерность вращения могла бы
поддерживаться в очень разреженной атмосфере туманности. Поэтому отныне
будем предполагать, что и> меняется согласно некоторому закону. Кроме
того, для вывода уравнения (1) мы пренебрегали притяжением этой атмосферы
из-за ее низкой плотности. Так больше делать нельзя: это и само по себе
очевидно, и сверх того, в дальнейшем мы увидим, что полагая притяжение
равным нулю, мы пришли бы к заключению о неустойчивости колец.
Уравнения гиростатики дают нам следующее:
dP , 2 dP 1 Ф _ 2
dx Р dx ' dy Р dy Ш dz Р dz Ш
где р - давление, р - плотность газа или жидкости, Р - потенциал
притяжения.
Эти уравнения можно записать как
dP+^-=oj2RdR, (2)
полагая R2 = у2 + z2. Предположим, что р - функция от р (так будет
происходить в большинстве случаев и, в частности, если туманность
находится либо в изотермическом либо в адиабатическом равновесии).
Тогда является точным дифференциалом, а стало быть, co2RdR тоже должен
быть точным, т. е. ш зависит только от R. Следовательно, полагаем
^ = dw, oj2RdR = dip(R),
тогда из уравнения (2) получим, что
Р + 7Г = ip(R) + const.
На свободной поверхности ж должно быть равным нулю, таким образом,
уравнение этой свободной поверхности будет выглядеть как
<р-Р = С.
(3)
Заметки о гипотезе Лапласа
59
Если предположить, что ш является постоянной, и пренебречь притяжением
атмосферы, то получим
'зР ту 2 р М
Ф 2 ' г 1
и мы вновь сталкиваемся с уравнением Роша
^R+K=C.
В общем случае полагаем
Р = -М + 5Р,
где член SP очень мал и возникает вследствие притяжения атмосферы.
Обсудим форму поверхности (3). Сразу видно, что это поверхность вращения.
По причине симметрии она допускает в общем случае плоскость
экваториальной симметрии, которая будет плоскостью ж = 0. Предположим,
что мы хотим изучить пересечение поверхности прямой, параллельной оси х.
Видно, что вдоль этой прямой (р постоянна, тогда как Щ-начинает расти,
когда \х\ приближается к нулю. Если пренебречь SP, то это приведет к
заключению, что первый член уравнения (3), когда изменяется только ж,
имеет единственный максимум при х = 0 и, следовательно, любая прямая,
параллельная оси х, пересекает поверхность не более, чем в двух точках.
Это заключение не изменится, когда мы перейдем к следующим приближениям,
поскольку выражение -SP, возникающее вследствие притяжения атмосферы,
также достигает максимума при х = 0, так как движущееся тело, обязанное
двигаться по прямой, параллельной оси ж, и находящееся под действием
притяжения атмосферы, будет стремиться приблизиться к плоскости ж = 0.
Это очевидно, если эта атмосфера ограничена поверхностью, которую каждая
прямая, параллельная оси ж, пересекает максимум в двух точках,
симметричных относительно плоскости ж = 0. Итак, можно определить форму
