Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Флуктуации. В основе С. ф. лежит тот факт, что физ. величины, характеризующие макроскопич. телл, с большой точностью равны своим ср. значенням. Это равенство является всё же приближённым, в действительности все величины испытывают малые беспорядочные отклонения от ср. значений — флуктуации. Существо-
ванне флуктуаций имеет принципиальное значение, т. к. доказывает статнстнч. характер термодинамич. закономерностей. Кроме того, флуктуацйи играют роль шума, ограничивающего точность фнз. измерений. Флуктуации нек-рой величины х оноло её ср. значения х характеризуются ср. квадратом флуктуации (Дат)2 — (х — х)2 = X2 — (*)2. В подавляющем большинстве случаев величина х испытывает флуктуации порядка [(Ax)2J^1; существенно большие флуктуации встречаются крайне редко. Знание ф-цин распределения системы позволяет вычислить ср. квадрат флуктуации точно так же, кан н ср. значение любой фнз. величины. Малые флуктуации термодинамич. величин можно вычислить, используя статистич. истолкование энтропии. Согласно ф-ле (11), вероятность неравновесного состояния системы с энтропией S пропорциональна ехр{SIк). Это приводит н равенству
= T1^r2,
где «] и п2 — значения плотности чнсла частиц в точках T1 н г3, п — ср. значение плотности, f
(3) ______
введён-
ная выше двухчастичная ф-цня распределения. С увеличением расстояния между точками корреляц. ф-цня стремится к нулю (обычно энспоиенциальио), т. и. флуктуации в далёких точнах пространства происходят независимо. Расстояние, на к-ром эта ф-ция существенно убывает, ваз. корреляц. радиусом.
Закон равнораспределения. Приложения С. ф. к научению свойств конкретных систем сводятся к приближённому вычислению статнстнч. суммы с учётом специфич. свойств системы. Во мн. случаях эта задача упрощается применением закона равнораспределения по степеням свободы, утверждающего, что теплоёмкость су (прн пост, объёме V) системы взаимодействующих частиц, совершающих гармонич. колебания, равиа:
Cy=&(п-|-ї/2),
где I — общее число поступат. н вращат. степеней свободы, п — число колебат. степеней свободы. Доказательство закона основано на том, что ф-ция Гамильтона H такой системы имеет вид: H — К(р{) + “(*т), где кинетич. энергия К — однородная квадратичная ф-цня от I -j- п импульсов Pi, а потенциальная энергия и — квадратичная ф-цня от п колебат. координат хт. В статистич. интеграле (6) интегрирование по колебат. координатам ввиду быстрой сходимости интеграла можно распространить от —во до оо. После этого легко показать, что виутр. энергия линейно зависит от темп-ры, отнуда следует приведённое выражение для теплоёмкости. Отметим, что закон равнораспределения верен только в классической С. ф.
Идеальный газ. Простейшим объектом исследования в С. ф. является идеальный газ, т. е. газ настолько разреженный, что можно пренебречь взаимодействием меж-
ду его молекулами. Энергия такого газа , равна просто сумме энергий отд. молекул. В классической С. ф. это означает, что ф-цня распределения распадается на произведение ф-цнй распределения для отд. молекул. В дальнейшем для простоты рассматривается одноатомный газ. Энергия атома во виеш. поле с потенциальной энергией ц(г) равна р212т -f- н(г). Интегрируя ф-лу (5) по ноордннатам Xi и импульсам Pi всех атомов, кроме одного, находим число атомов, импульсы к-рых лежат в элементе объёма импульсного пространства dp, а иоордннаты — в элементе объёма dx:
dN=C ехр[—(p2l2m-\-u{r))jkT]dpdx.
(13)
(Д x)2=[{d2Sldx2)x=-]-K
Напр., для ср. квадратов флуктуаций объёма и темп-ры тела получим:
(ДУ)2——АГ(57/дР)Т, &T*=kT*/cv.
Из этих ф-л видно, что относит, флуктуации объёма и флуктуации темп-ры обратно пропорциональны N^*, где N — число частиц в теле. Это и обеспечивает малость флуктуаций для макроскопич. тел. Связь между флуктуациями разл. величин Xi, Xfc характеризуется ф-цней Дх/Да:?. Если флуктуации величии х\ и Xjc статистически независимы, то Даг/Да;^ = Да^-Да^ = 0.
Под Xi и Xk можно понимать и значення одной н той же величины, напр, плотности, в разл. точках пространства. Т. о., приходим к пространственной корреляционной функции плотности:
Эту ф-лу называют распределением Максвелла — Больцмана (см. Больцмана статистика). Статистич. интеграл (9) идеального илассич. газа также распадается иа произведение членов, соответствующих отд. атомам. Прн этом, однако, нужно учесть, . что осн. состояние атома может быть вырождено, т. е. g состояний могут иметь одинаковую энергию. Это приведёт к появлению дополнит, множителя gN в статнстнч. сумме. Окончательно свободная энергия N атомов газа равна:
F=-NkT ln [(mkTfinh?)*heVg/N),
здесь V — объём газа, е — основание натуральных логарифмов. Прн высоких темп-рах g — (2J + 1)(2L -f- 1), где J — величина спина, a L — орбитального момента атома (в единицах h). Из выражения для свободной энергии следует, что зависимость давления P идеального газа от плотности чнсла частиц (NfV) н темп-ры имеет вид: PV = NkT. Для внутр. энергии одноатомного газа, его теплоёмкости прн пост, объёме и хнм. потенциала получим:
