Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
влиянием малого возмущения такого типа.
Приведенный случай соответствует x = d=l, ±2. Из формулы
(4.37) легко видеть, что для Е1 = Ег, т. е. для точек с обеих сторон
разрыва, \A1jA2\ = \- Волновые функции (4.36) являются поэтому
комбинациями из двух плоских волн (4.31), распространяющихся в
противоположных направлениях с равными амплитудами, т. е. представляют
собой стоячую волну. Волна с меньшей энергией имеет максимальную
амплитуду в центрах, где притягивающий потенциал является наибольшим, а
для волны с большей энергией эти точки соответствуют узлам.
Эти результаты мы должны теперь связать с общей теорией, развитой в § 1.
Для этой цели мы заметим, что теореме (4.7) удовлетворяет уже
невозмущенная волна (4.31). Это неудивительно, поскольку отсутствие
потенциала не противоречит условию периодичности (4.1). Однако вектор р
не ограничен размерами ячейки обратной решетки, и поэтому, чтобы
вернуться к прежним переменным, мы должны в качестве k выбрать величину
. 2пх i: . . л , "п
k=p 2-, - -<?<-. (4.39)
На фиг. 11 кривая, приведенная на фиг. 10, изображена как функция k.
Парабола, соответствовавшая свободным электронам, теперь разделяется на
два отрезка, каждый из которых изображает одну
106
ГЛ. 4. ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
из энергетических кривых Et(k). В каждой из точек k = 0 или ft =s dr я/а
две такие кривые пересекаются, и, следовательно, рассуждение, с помощью
которого была получена формула (4.15), неприменимо. Однако если мы
приложим периодический потенциал, то, как бы слаб он ни был, пересечение
исчезает, и кривая будет иметь нулевой наклон на границе зоны.
Таким образом, мы видим, что энергетические кривые, возникающие в двух
предельных случаях, т, е. очень сильной и очень слабой связи, по своим
качественным особенностям являются очень сходными, причем основная
разница заключается в том, что в одном случае возникают очень узкие
энергетические полосы, отстоящие далеко друг от друга, а в другом -
широкие полосы, разделенные малыми промежутками. Другая существенная
разница - это неравномерная кривизна кривых на фиг. 11 с очень резкими
переходами у границ.
Изложенный метод, очевидно, является наилучшим при высоких энергиях, так
как мы пренебрегли матричными элементами V по сравнению с энергиями,
соответствующими расстояниям по вертикали между различными кривыми на
фиг. И, за исключением областей сближения. При переходе к верхним кривым
эти расстояния увеличиваются, в то время как матричные элементы (4.33)
убывают при возрастании порядка.
Изложенный результат дает удобный метод для рассмотрения электронной
диффракции. Если пучок электронов падает на кристалл и энергия электронов
соответствует одному из промежутков, возникающих на фиг. 10 или 11, то
пучок должен быть полностью отражен, так как электрон с такой энергией не
может двигаться в кристалле. При помощи метода, изложенного в гл. 3, для
строго определенной длины волны и, следовательно, для определенного
значения энергии мы должны были бы найти рассеянную волну бесконечной
интенсивности. Вместо этого оказывается, что отраженная волна имеет
конечную амплитуду (соответствующую интенсивности волны, падающей на
кристалл), но распространенную на конечную область энергий. Этот
результат совпадает с результатами динамической теории диффракции
Эвальда, которая была развита для рентгеновских лучей. При количественном
рассмотрении нужно, однако, принять во внимание поверхностные эффекты.
Обобщение проведенного рассмотрения почти свободных электронов. на
трехмерный случай не представляет большого труда. В импульсном
пространстве условие
(р-К)2 = р2, (4.40)
являющееся одной из форм записи условия Брэгга для каждого вектора
обратной решетки К. соответствует плоскости, вдоль которой образуется
разрыв. Эти плоскости рассекают импульсное пространство на многогранники,
из которых тот, который содержит начало координат, называется госновной
зоной Бриллюэна". Что касается других,
8 4. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ
107
то мы всегда можем найти такую подсистему, которая после переносов на
соответствующие векторы К опять приведется к основной зоне, в которой
энергия будет непрерывной функцией к. Многогранники, образующие такую
подсистему, известны под названием зон Бриллюэна.
§ 4. Скорость и ускорение
Так как волновая функция ^(к) определенного электронного состояния
комплексна, то мы можем в общем случае ожидать появления неравной нулю
средней скорости. Это можно легко показать, воспользовавшись уравнением
непрерывности. Предположим, что мы имеем дело не со строго стационарным
состоянием, а с волновым пакетом, образованным из некоторого числа волн с
близкими значениями к. Если интервал значений к, примененный для
образования волнового пакета, мал по сравнению с размерами основной зоны
Бриллюэна, тс протяженность волнового пакета в пространстве должна быть
велика по сравнению с размерами элементарной ячейки, но она все еще может
оставаться малой по сравнению с размерами всего кристалла.
