Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Как известно, малое изменение в коэффициентах дифференциального
уравнения должно вызвать малые изменения в его решении.
Если способ нумерации выбран правильно, то Ег(к) должна быть непрерывной
функцией к э
и иметь непрерывную производную. (В действи- У \
тельности можно показать, что она является ана- ^ ( к \
литической функцией к, но нам это не потре- 2................ * '
буется.) --------
Непрерывность существует также между точками на противоположных гранях
основной к )
ячейки в к-пространстве. Это связано с тем, \/
что ограничение значений к размерами такой Фиг. 7.
ячейки является весьма условным. Для плоского
случая это изображено на фиг. 7. Многоугольник характеризует основную
ячейку, а точка кх - значение на границе. Оно отличается от значения на
противоположной границе к3 как раз на величину вектора обратной решетки
К- Точки, находящиеся в правой окрестности к2, могли бы быть с таким же
правом помещены в правой окрестности кх. Это показывает, что
Фиг. 7.
?г (kx) = Ei (к2); grad El (кх) = grad Ег (к,). (4.13)
98
гл. 4. электроны в идеальной решетке
Теперь предположим, что симметрия решетки допускает отражение в плоскости
* = 0. Отсюда мы можем заключить, что
?г(к1) = ?г(к2);
дЕг (к,) дк,
дЕг(к2) .
¦у
дЕг( к2)
дк*j
дк-*
(4.14)
Первые два результата совпадают с теми, что получаются из условия
непрерывности, но последнее отличается знаком и, следовательно,
дЕг( kt)
дк:г
<0.
(4.15)
В общем случае, если решетка имеет достаточную симметрию, то производная
Е в направлении, нормальном к границе ячейки, равна нулю на этой границе.
Ясно, что это справедливо и для трех измерений.
Существует, однако, возможное исключение из этого правила, а именно
случай, когда значения двух различных функций, скажем ?j(k) и ?2(к), на
границе совпадают. В этом случае (4.13) уже не обязано иметь место;
вместо этого может оказаться, что градиент Ех в точке kt равен градиенту
другой функции Ег в точке к2. Мы встретимся в дальнейшем с таким случаем,
но увидим, что он является весьма редким.
На фиг. 8 изображены некоторые типичные кривые E(k) для
ли! ейной цепочки, которые согласуются с полученными здесь результатами
х).
§ 2. Сильная связь
До сих пор мы не делали никаких предположений о потенциальной функции
V(r), кроме предположения о периодичности. Можно, однако, получить более
детальное представление о задаче, если решить уравнение для двух
предельных случаев: случая сильно связанных и случая почти свободных
электронов.
В случае сильной связи мы допустим, что постоянная решетки столь велика
или атомный радиус так мал, что волновые функции
!) Как сообщил мне В. Шокли, в одномерном случае можно доказать, что
максимумы и минимумы Е (к) могут возникнуть только при 6 = 0 или k = zfc
я/а. Поэтому верхняя кривая на фиг. 8 в одномерном случае возникнуть не
может. Однако она может возникнуть в случае одномерной цепочки из
трехмерных атомов.
§ 2. СИЛЬНАЯ СВЯЗЬ
9У
атомов в соседних узлах решетки будут перекрываться в очень
незначительной степени.
Чтобы избежать ненужных усложнений, будем считать, что задача является
одномерной и атомы одинаковы. При этом мы можем записать потенциал в виде
V (х) = 2^ (х - па), (4.16)
П
где U (х)- потенциальная энергия электрона в окрестности атома,
находящегося в начале координат, а сумма берется по всем атомам в
цепочке. Мы можем ожидать, что собственные функции будут находиться в
некотором соотношении с функциями отдельного атома. Действительно, любая
из N функций срп(х) = ср(х- па) является почти решением волнового
уравнения
(4Л7>
П
с собственным значением Е0, соответствующим отдельному атому. Это можно
увидеть, подставляя <рп в (4.17). При этом все произведения потенциальных
членов и волновой функции будут малыми, за исключением числа с тем же
номером п. Пренебрегая остальными членами, мы получаем
+ t E-U(x-na)]'t(x-na) = 0, (4.18)
т. е. уравнение для отдельного атома, которое удовлетворяется при Е = Е0.
Чтобы улучшить решение, мы применим теорию возмущений. Так как мы имеем N
функций, которые удовлетворяют (4.17) одинаково хорошо и с одним и тем же
значением энергии, мы должны ожидать, что правильные решения должны быть
близки к некоторым линейным комбинациям:
5Мя<Рп- (4Л9)
п
Однако мы не можем определить наилучший выбор Ап с помощью обычного
метода теории возмущений, так как не можем разделить потенциал на
основную часть и малое возмущение. Каждая часть потенциала велика для
одной из волновых функций, содержащихся в (4.19).
Вместо этого мы найдем коэффициенты в линейной комбинации (4.19),
применяя вариационный принцип. Мы выберем их таким образом, чтобы сделать
математическое ожидание энергии стационарным.
100
ГЛ. 4. ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
Это математическое ожидание равно
2 АпАпНп
где
Е=п^п ) (4 20)
А А [
'Пп т'/ п, т
п, т
Jn,m = J* fn^mdX', Нп,т = j 2
Прежде всего мы отметим, что Jn,m и Нп,т зависят только от разности
индексов л- от. Это можно сразу увидеть, если изменить начало координат в
