Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Блохом [9], можно получить следующим образом.
Сместим начало координат в уравнении (4.2) на а" и используем соотношение
(4.1). Очевидно, что функция ф(г-|-ап) также является решением уравнения
(4.2). Она удовлетворяет также циклическому условию (4.3). При этом
возникают две возможности: либо значение энергии Е не вырождено, так что
все решения уравнения (4.2) должны быть пропорциональны друг другу, либо
имеется вырождение. В первом случае новое решение, разумеется,
пропорционально первоначальному:
ф(г + аО = с^(г). (4.4)
Интеграл квадрата модуля новой функции по объему кристалла, очевидно,
должен равняться такому же интегралу от функции ф(г), так как эти
интегралы отличаются просто изменением начала координат. Отсюда следует,
что
|с|2=1. (4.5)
В случае вырождения общее решение можно записать как произвольную
линейную комбинацию некоторой основной системы решений. Выбор этой
системы до некоторой степени произволен. Эта свобода выбора как раз
достаточна для того, чтобы позволить нам найти такую основную систему,
каждая функция которой обладала бы
свойством (4.4). Пусть ф2 ^п представляют собой основные
функции. Тогда смещение каждой из них дает опять решение уравнения,
которое является линейной комбинацией основных функций
П
(г + а") = 2 С -vi, (г), и = 1, 2, . . ., п.
V-1
Мы можем считать первоначальную систему ортогональной и нормированной, т.
е.
/ 'i'iUr)
и так как эти интегралы не меняются при смещении начала координат, то
новая система тоже будет ортогональной и нормированной. Следовательно,
2 = ол.
Это показывает, что матрица С унитарна. Как известно, любую унитарную
матрицу при помощи унитарного преобразования можно привести к
диагональному виду. Ввиду этого существует система линейных комбинаций 6,
которые опять ортогональны и нормированы
96
ГЛ. 4. ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
и которые соответствуют диагональной матрице С. Такое утверждение
означает, что соотношение (4.4) справедливо для каждой из функций.
Мы хотели бы, чтобы (4.4) было справедливо для произвольного вектора
решетки а" (константа с будет, конечно, зависеть от п), и поэтому мы
должны быть уверены, что, сделав С диагональной для некоторого смещения
аш мы можем сделать то же самое для других смещений, не нарушая при этом
то, что уже достигнуто. Возможность этого следует из того факта, что
любые два смещения являются коммутирующими операциями, т. е. результат не
зависит от порядка выполнения операций. Это показывает, что матрицы С,
относящиеся к любым двум векторам решетки, коммутируют, а, как известно,
система коммутирующих матриц может быть приведена одновременно к
диагональному виду.
Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что все собственные функции
выбраны так, что они удовлетворяют условию (4.4) для любого смещения.
При смещении а" ~Ь а"', являющемся результатом двух последовательных
смещений, волновая функция умножается на сс'. Следовательно, Inc
аддитивен и должен линейно зависеть от векторов смещений. Вместе с
условием (4.5) это показывает, что
Таким образом,
Ф (г + an) = eik'*" ф (г). (4.7)
Вектор к определен лишь с точностью до произвольного вектора обратной
решетки К, так как для этого вектора по определению имеет место
соотношение
с<к""=1 (4.8)
при любом п [см. (1.28)]. Мы можем использовать эту свободу, ограничивая
значения к, как и раньше, основной ячейкой обратной решетки, которая была
определена в гл. 1, § 6. В теории металлов она часто называется "зоной
Бриллюэна".
Условие цикличности опять приводит к тому, что компоненты к
соответственно кратны 2v/Lv 2тс/?2, 2я/?3. Разрешенные значения для
вектора к, таким образом, те же, что и для волнового вектора f,
введенного в гл. 1, а число разрешенных значений равно числу элементарных
ячеек в кристалле.
Поэтому мы можем нумеровать волновые функции по соответствующим значениям
вектора к. В действительности существует бесконечное множество волновых
функций, принадлежащее одному и тому же к. Мы будем обозначать их через
<btz(r), а соответствующие собственные значения энергии - через Ег (к).
Все собственные
§ 1. ТЕОРЕМА БЛОХА
97
значения, принадлежащие одному и тому же к, различны, за исключением
весьма специальных случаев.
Следуя Блоху, мы можем выразить условие (4.7) в совершенно иной форме.
Введем следующее представление функции
<Мг) = е*-гИкг(г). (4.9)
Тогда из условия (4.7) следует, что
(г + ав) = "ьг (г). (4.10)
Иными словами, иц{г) обладает трансляционной симметрией решетки.
Эта функция удовлетворяет уравнению
[Si ^ -/к>2 + 1?г(к)- ^(г)]} "ы(г) = 0, (4.11)
которое вследствие периодичности ищ(г) может быть решено только для одной
элементарной ячейки с такими граничными условиями на противоположных
гранях ячейки, чтобы сделать возможным периодическое продолжение решения.
Мы сразу видим, что при переходе к комплексно-сопряженным величинам мы
получаем то же самое уравнение с -к, решением которого является и*.
Следовательно,
И-к.Кг) = иы (г); Ег(-к) = Ег(к). (4.12)
