Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
+ 12q\l3q\ + 12anq\ q22 + 4/i2<h4 + 32а<?Г2/3(9<7? + +
+ 32a2q\ (9qj + 2q\). (22.69)
Еще один интегрируемый случай такого типа был обнаружен в работах
[199,185]. Именно,
U = q?l3(\2q\4q22). (22.70)
В этом случае
/ = /6 =р62 +3p\pl + nq\/3q2piP32 +6(3<7?/3' + <7f2/3<7l) +
+ 648 q213q\ p\ + 648q2. (2.2.71)
Относительно дальнейших обобщений см. работу [49].
Отметим еще, что в работе [317] было рассмотрено семейство потенциалов
вида
U = q\+bq\q\+q\ (22.72)
и доказано, что единственные интегрируемые случаи - это случаи,
рассмотренные выше, т.е. Ъ = 0,2 и 6.
4. Потенциалы, связанные с лаксовым представлением. Здесь, следуя
[49], мы опишем несколько систем с двумя степенями свободы, которые
обладают дополнительным интегралом движения четвертой степени по
импульсам и представляют собой частные случаи много частичных систем,
рассмотренных в следующем разделе. Потенциал таких систем имеет вид
U(qi, 'q2)= M<7i)'+"2(<72) + "3(<7i - <7з) + +<b)]- (22.73)
Дополнительный интеграл движения такой системы будем искать в виде
р? р\
1 = 14=-- + goP\ +iiPiP2 +giP2 +h. (2.2.74)
Из условия {/, #}= 0 сразу же получаем явное выражение для функций go, g\
и g2 :
go=v2(y), g\ =-"з(х - у) + v4(x + у), g2=v ,(х) (2.2.75)
и функциональное уравнение для интересующих нас функций их, v2, v3
и у4
[у4 (х + у) - v3 (х - у)] [v2 ( у) - иi (х)] +
+ 2 [v'^fx + у) - и'з(х - у)] [и2(>') - (зс)] +
+ Зу4(х +у) [у[ (у) - у[ (х)] + Зуз (х - у) [v2 (у) + yi (х)] =0.
(2.2.76)
83
Общее решение этого уравнения не известно, однако известен целый ряд его
частных решений.
(1) Как показано в работе [255], рассматриваемая система интегрируема
при выполнении условий
II. v(q) = a2 [shag]-2 ;
III. u(<7) = a2[sina<7]-2;
IV. v(q) = a2 fr(aq), 3>(х) - функция Вейерштрасса;
V. v(q) = q~2 + ai2q2.
(2) В работе [128] были найдены интегрируемые системы с потенциалами
vi (*) = [о + Ъ sinx] [cos х] ~2,
и2(У) = [с +<isiny] [cosy]-2, (2.2.79)
из(2) = -v*(z) = -cosz.
(3) В работе [206]
Vi (х) = v2 (х) = к ch(bx),
и3(х) = к2 [sh(&t/2)] "2 + *3 [sh(bx/4)] "2, (2.2.80)
и4(х) = fc4 [sh(bx/2)] "2 + ks [sh(bx/4)] "2;
i>i(x) = и2'(х) = ki ch(bx) + к2 ch(2bx) ,
из(х) = ^3 [sh(bx/2)] "2, (2.2.81)
и4(х) = кц [sh(bx/2)] ~2.
(4) В работах [238], [207]
и3(х) = и4(х)=?2#>(ох).
В последнем случае величины осу - это периоды функции ^(х) , а констан-
^3=^4= g2 V(x), Vi(x)= g2 v(x) + gl v(2x) = v2 (x),
(2.2.77)
gi[g2 ~2g2 +'j2g2gi]'=0 и если u(x) - функция одного из пяти типов:
I. v(q) = q'2;
vi(x) = v2(x)=glx 2 +gjx2 +glx4+g$x6, v3(x) = v4(x) = g2x~2,
vdx) = v2(x)=gl[sh(ox)]"2 +gi [sh(2ox)]"2 + + g2 ch(2ax) + gl ch(4ax),
"э(х) = Mx)=g2 [sh(ax)]"2,
(2.2.83)
(2.2.82)
Vi(x) = v2(x)^g2ig>(qx)+gj^>yax+ + &S'(ax+ -y^ +
ты gj удовлетворяют условию
(2*? - 2 gig2-)2 = 64П*к. (2.2-84)
/ I Ф j к
(5) В частном случае и4 = 0 в работе [206] было найдено два типа
решений уравнений
(х) = ki ch(2bx + Ci + 2d) + к2 ch(bx + с2 +d),
с2(х) = кх ch(2bx + Ci - 2d) + k2 ch(bx + c2 - d), (2.2.85)
i/i \ i ~2
v3(x-y) = k3
sh^-b(x -y)
(которые тоже были найдены в работе [311]), а также решение iij (х) = ki
ch(bx + Ci + d) ,
c2(x) = кi ch(bx + Ci - d), (2.2.86)
v3 (x-y) = k2
1
sh( -b(x - y) + d
)
+ k3 [sh(b(x - y)/4 + d/2)]
-2
(6) Отсюда в качестве предельного случая можно получить решение, ранее
найденное в работе [108],
Ui(z) = v2(z) = aexp(z), v3 = (cth(z/2))2, (2.2-87)
а также решения ([207,311])
Hi = v2 = c0z + Ci z2 + c2 z3 + c3 z4; v3=a2z~2. (2.2.88)
Г. Другие результаты. В работе [314] было описано новое семеййтво
интегрируемых потенциалов U(x, у), .допускающих дополнительный интеграл
четвертой степени по импульсам. Эти потенциалы имеют вид
U(x,y) = - [7(x)-/i'(*).>' + "(.>')]. (2.2.89)
4с
где с(у) = - by3 + - ay2 + еу + /; a,b,c,e, / - некоторые константы,
6 2
а функции п(х) и у(х) - решения двух нелинейных дифференциальных
уравнений
п(п"' + Ь)+ 5п'п"=0
и (2.2.90)
п(у" - а) + 3 пу + 2п"у = 0.
Интеграл движения в этом случае имеет вид
/ = - ( у2(х) - - "2(х) + е/ n(x)dx + n(x)y'(x)y -4с 2
- - п(х)п"{х)у2 ) + [у{х)-п'(х)у] pi +ср% +п(х)рхру. (2.2.91)
85
Приведем два явных решения:
1) U(x,y) = ^)x-2/3+F6V/3 +
+ %г ~ "з ^ух~21ъ +
КзО = ~ °у2 +ey+f>
(2.2.92)
2) U(x,y) =
4 с
Ex +Fx +а - + 32
х* bx у
32
+ и(у)
Д. Трансцендентные интегралы движения. Почти во всех рассмотренных выше
случаях дополнительный интеграл движения полиномиален по импульсам (а в
большинстве случаев также и по координатам). Однако известны также
случаи, когда дополнительный интеграл движения является рациональным или
же трансцендентным. Приведем три случая, найденные в работе [200]:
О)
/ = Л =(хру-урх +у)/ру, или же
/ = 12 =РХ+ In
(т>
Ру
/ = /3 = - exp(p*).
У
(2) Н= ~ (Р2х+р2у) + 2урхру-х,
/ = Л = РУ ехр(р2),
/ = /2 = -у ехр(-р2) + - (2т:)112ру exp(p2)erf (\Дрх),
(2.2.93)
(2.2.94)
(2.2.95) (2.2 96)
(3) Я = - (Pl+P2y) +
2 \У
+ 2W'+(j,px
(">
/ = /2 = - у
Ру W
PyW.
/ = /з
+ 2И/'_( -
(2.2.97)
