Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
\ bqx bq2 /
Для решения этого уравнения удобно перейти' от переменных q \ uq2 к новым
переменным
гх = | q - с | и г2 = | q + с |, с = (с, 0) . (2.2.20)
Опуская вычисления, приведем окончательный ответ:
U = -^-[A(rl + г2) + Д(г, -г2)]. (2.2.21)
Г\Г2
Аналогично, полагая в случае III b = f, с - 0, приходим к системе
уравнений
Э V ъи Э V ъи ъи
= q2 , = -2<71------------- + Яг ~-> (2.2.22)
' 9<7i bq2 bq2 bq2 bq^
откуда получаем
/ъ2и b2U\ Э 2и ъи
Яг [----7 - --7 ) + 2<7i - + 3-- = 0, (2.2.23)
\ bqi bq2 / bqx bq2 ЪЯг-
U = -(А(г + ях) +В(г-qi)), г = | q |. (2.2.24)
г
Аналогично нетрудно найти возможный вид потенциальной энергии и в случаях
III и IV.
Итак,возможны следующие виды гамильтониана Н (22.1), допускающие
квадратичный интеграл движения.
I. Я = ;(Р? +р2)+ -(Air, +г2) + Я(г, -г2)), (2.225)
2 г,г2
где
0=lq-c|, г2 = | q + с |, с = (с,0).
В этом случае
I =Ul2 -с2р2) + - [-(c2-D2)4") + a2 -с2)В(я)\,
2 г,г2
Г2 + Г1 г2 - г,
1=-у-, г?=-у~. (2.2.26)
II. Я = )-(р1 +р1)+А(г) + г-2В(в), (2.2.27)
2
76
где
r= |q I, <7i =rcos0, q2=rsind.
При этом 1 "
/ = -/2+Я(б). (2.2.28)
1 , 2 2. + \ . Jr-4\
hi. я = - (pi +Pi) + -[a\-y~) + в[~^~))г (2229)
где r= | q j.
Здесь
1= lp2 + J [VACO - ZB(v)], % = , n= • (2.2.30)
IV. ff=^(pl +*>!) +tfi(<7i)'+tf2(<72), (2.2.31)
/ = -pi + Ui(qi)' ^или I = -pj + U2{q2)j. (2.2.32)
Приведем несколько конкретных примеров систем такого типа.
1. Системы с полиномиальными потенциалами, которые допускают разделение
переменных после замены переменных q\ и q2 на (<7t + q2) и (<71 - <7 2) ¦
В этом случае потенциал Uiffo, q2) имеет вид
U=Uk{qu'q2)= ^-[(<7, + <72)* + (<7i -<72)*],
Ui =qit U2=ql +qj, U3=ql+3qxql, (2.2.33)
Щ =qt + 6qlql +q$,.. .
2. Пусть потенциальная энергия имеет вид
U(qi,q2) = Ui(r)+ U2{qu q2), r = y/ql + q%, (2.2.34)
где U2(qu q2)- однородная функция степени (-2) :
и2(\Чи\Ч2) = \-2и^1^2). (2.2.35)
Переходя к полярным координатам = rcosfl,- q2 = г sin 9, мы получаем
?^2(<7i , q2) = г~2В(д), (22.36)
т.е. приходим к случаю II.
Сюда относятся, например:
а) рассмотренная Якоби [212] система трех частиц на прямой,
взаимодействующих обратно пропорционально квадрату расстояния,
U(xi,x2,x3)=gl2(xi -х2)~2 + g23(x2 -х3)~2 +g3i(x3 -х,)"2
(2.2.37)
77
(это становится очевидным после перехода к относительным координатам q j
й q2 в системе центра масс);
б) более общая система трех взаимодействующих частиц с потенциалом
U(x i,x2,x3) = 2 Ujk (Xj - хк), (2.2.38)
i < к = 1
где
Ujk (х) = gjk х -2 + ах2 + 0 х4. (2.2.39)
Это следует из легко проверяемого тождества
[(*i -х2)* +(х2 -х3)4 + (х3 -xt)4] = (2.2.40)
= "[(*i - х2? +(х2 -х3)2 + (х3 -Х{)2]2.
Относительно более общих систем такого типа см. работу [264].
3. Системы с полиномиальным потенциалом, для которых переменные
разделяются после перехода к параболическим координатам (г + qt) и
(r-<7i), где г = -\fq\ + q\. Сюда относится случай
U=Uk= ^[(r + qx)k+l+(-\)k(r-q,)k+l ],
2r (2.2.41)
Ux ~<7i, U2 ~(4q\ +q}), U3 ~q1(2qf +q|),
T/4 ~(16<7!4 + 12qlql+qt), Us ~qx(\6q$ + 16<7?<722 + 3ql).
4. Системы с полиномиальным потенциалом, для которых переменные
разделяются после перехода к эллиптическим координатам (г, + г2) и
(Л - г2), где г, = \/(<? 1 -сУ+(Ц, r2 = \/(<7i + с)2 +q\. Сюда относится
случай
U=U2k = -Л-[(г, +r2)2k+2-(ri -г2)2*+2],
2 г,г2 (2.2.42)
Я2 ~ (qr? + р22 + с2), U, ~ [(q,2 + qlf + c2(ql + 2qr|)].
5. Двумерный ангармонический осциллятор (частный случай системы,
рассмотренной Гарнье [178])
U(qx,q2)=Aql + Bqj +(<7? +<?22)2. (2.2.43)
Здесь
р\ 1
/ = - + --- (</! р2 - q2 р,)2 + ), (2.2.44)
2 А - В
или
Ра 1
/ = - - ---------- (<7i Р2 - <72 Pi)2 + Д<722 + <72 (<7? + <?22)-
(2.2.44')
2 А - В
Эта система легко сводится к случаю I.
Отметим еще интегрируемое обобщение системы Гарнье, указанное в работе
[313]:
и=(я\ +Q2)2 +Aql + Bql+Cq? + Dq?.
(2.2.45)
В этом случае
/ = + Яг ) + Aq\ + Qj-f2 +
2 (В
1 г /ва V /<7i V
-" (Яг Р\ -<7i Ра) +2С( - ) + 2?>( - ) -Л) L V<7i / \<7а/
(22.46)
и уравнения движения этой системы интегрируются после перехода к
эллиптическим координатам.
Б. Кубический интеграл движения. Общий случай натуральной системы
(т.е. системы вида Н= - р2 + U(q)) с двумя степенями свободы, допускающей
интеграл движения, кубичный по импульсам, изучался в работах [161,202].
Потенциал Драха. В первой из этих работ [161] рассматривалась система с
гамильтонианом
Я = Pi Рг + U(qi,q2)
(2.2.47)
и были найдены 10 случаев с дополнительным интегралом движения, кубичным
по импульсам. Потенциал U при этом зависит от трех постоянных а, /3 и у.
Приведем выражения для U (относительно интегралов движения см. работу
[161]).
а
1. U = - + /Зхг' у'2 +7хг*уг', ху
где г j и г 2 - корни уравнения г2 + Зг + 3 = 0.
2. U =
У(У +Мо*)
3. U = аху +
4. U =
(У МоХ) \/ху (у - д0х)2 /3 7
(У-ах)2 (у+ах)2 '
а $ ух
5. U = •
\/у(х-д) х/у(х + д) х/(х* - а7) а
х/ху V* v9 2х2 + с
(2.2.48)
6. U = аху + /3у •
7. U =
+ 7-
(у + 3wx)
х/х2 + с х/х2 + с
